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Warum ist das Ergebnis von Wurzeln immer positiv?
Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe
Tags: Negativ, positiv, Quadrat, Wurzel
 
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Es gibt ja eine mathematische Regel, die besagt, dass das Ergebnis einer Wurzel immer positiv ist. Aber man kann das Gegenteil beweisen: Wenn ist und der Zahlenbereich ℝ oder ℚ ist, gibt es in einer linearen Gleichung wie dieser unendlich viele Lösungen. Also auch und - Ergebnis. Warum dann immer positiv? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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"Es gibt ja eine mathematische Regel, die besagt, dass das Ergebnis einer Wurzel immer positiv ist." Das würde ich so nicht sagen. Die Wurzel aus 4 kann oder sein. Beide Zahlen ergeben zum Quadrat allerdings sicher |
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anonymous 00:17 Uhr, 09.08.2012 |
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Das ist so nicht die komplette Wahrheit, MrBlum. Natürlich kann man argumentieren, dass die (Quadrat-)Wurzel aus 4 die Lösung der folgenden Gleichung ist, da das Radizieren eine Umkehrung des Potenzierens ist. Und diese hat in der Tat die beiden Lösungen und . Wenn wir nun bei den reellen Zahlen bleiben, also von komplexen Zahlen absehen, so bezeichnet die Wurzel aber normalerweise immer nur die positive Lösung, also . Es wurde also die Konvention getroffen das gilt: Daher ist im Prinzip die Antwort auf die Frage von hacker3000: Das die Wurzel immer positiv ist, liegt ganz einfach daran, das es so festgelegt wurde um eine Eindeutigkeit der Wurzel zu erhalten. Sonst wüsste man ja nie ohne zusätzliche Informationen, ob mit nun die Zahl oder die Zahl 2 gemeint ist. So lautet auch die (mir bekannte) Definition der Wurzel: Es sei eine natürliche Zahl. Ist a eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung genau eine NICHTNEGATIVE Lösung. Diese wird als n-te Wurzel aus a bezeichnet. Man schreibt dafür: Die Nichtnegativität der Wurzel folgt also direkt aus der Definition. Zusatz: Deshalb muss darf man bei der Lösung von als nächsten Schritt auch nicht einfach schreiben, sondern oder oder . Schließlich bezeichnet nur die positive Lösung 2. Es existiert aber auch eine negative Lösung . Denn ein Sachverhalt der sich nun ergibt ist, dass nur für nicht-negative gilt. Denn durch die Quadration ist immer positiv, was auch gut so ist, da die Wurzel einer negativen Zahl nicht Teil der reelen Zahlen ist. Und laut Festlegung ist die Wurzel immer die positive Lösung. Daher ist also auch immer positiv. Eigentlich bedeutet deshalb . Beispiel: |
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Stimmt schon. Ich habe den Fragesteller zitiert und seine Aussage so nicht anerkannt ("Das würde ich so nicht sagen..."). Was Du erklärst, läuft im Prinzip darauf hinaus: siehe Bild  |
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Jetzt versteh ich auch den Sinn der ganzen Sache. Eindeutigkeit... |
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