 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Was bedeutet: in Linearfaktoren zerfallen?
Was bedeutet: in Linearfaktoren zerfallen?
Universität / Fachhochschule
Determinanten
Eigenwerte
Tags: Determinanten, Eigenwert
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen Über charakteristische Polynome gibt es eine Aussage, die mir sehr gut gefällt und ziemlich hilfreich sein könnte.. Jedoch gibt es einen kleinen Haken: Wenn das Polynom in Linearfaktoren zerfällt, gilt: spurA Wann zerfällt aber ein Polynom in Linearfaktoren? Bedeutet das, dass ich verschiedene Eigenwerte brauche? Denn jedes charakteristische Polynom hat ja genau Linearfaktoren, oder nicht? Denn jedes Polynom hat ja Nullstellen (wenn man algebraische Vielfachheit mitzählt), da jedes Polynom vom n-ten Grad genau (wenn vielleicht auch komplexe) Eigenwerte hat.. Ich habe jedoch an einem Beispiel geprüft, bei dem ein Eigenwert doppelt vorkam (also algebraische Vielfachheit 2 hatte), das hat dennoch problemlos funktioniert...? Übrigens: Habt ihr gute Tricks, wie man die Eigenwerte schnell findet? Wir müssen meistens lösen.. Der erste Eigenwert finde ich durch Probieren (wann ist Gleichung=0), dann Polynomdivision.. Gibt es was Effizienteres? Ist ja nicht soo ideal, wenn es nur komplexe Eigenwerte gibt.. (wobei, das kann es bei Dimension 3 gar nicht, oder??? Wenn es sich um eine reelle Matrix handelt, muss es entweder 1 oder 3 reelle Eigenwerte geben, oder nicht??) Vielen Dank Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Faktorisieren (Linearfaktorzerlegung) |
|
 |
|
Hallo, ein Linearfaktor ist ein (normiertes) Polynom ersten Grades. Über den reellen Zahlen zerfallen Polynome nicht unbedingt in Linearfaktoren, z.B. das Polynom . Nach dem Hauptsatz der Algebra zerfällt aber jedes reelle (und komplexe) Polynom über in Linearfaktoren: . Z.B. zerfällt das Polynom D.h. das Polynom hat eine doppelte Nullstelle bei , dass die Nullstellen unterschiedlich sein müssen ist also nicht gefordert. Wenn ich mich recht erinnere, ist bei einem Polynom der Koeffizient die Summe der Nullstellen des Polynoms und der Koeffizient das Produkt der Nullstellen. Gruß Sina |
 |
|
Also bedeutet das, dass falls ein Polynom nur reelle Eigenwerte hat, dass dann diese Regeln gelten, wenn es komplexe Eigenwerte gibt, dann nicht? |
|
|
|
Nein, diese Regel gilt immer, da sie eine Folgerung aus der Definition der Addition und Multiplikation von Polynomen ist. Hat ein reelles Polynom jedoch eine komplexe Nullstelle , so ist auch dessen konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle. Addiert man , so erhält an eine reelle Zahl. Ebenso wenn man die Zahlen miteinander multipliziert. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
967874
967806