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Was ist der Unterschied zwischen sin und sin^-1

Schüler

Tags: Satz des Pythagoras, Trigonometrie

BinDummsorry aktiv_icon

11:14 Uhr, 02.06.2019

Salvete Mathematici!
Ich habe gerade zum ersten mal den Sinus benutzt und war etwas verwirrt als bei

{sin}^{- 1}

etwas völlig anderes rauskam, als bei sin. Ich sehe das auch öfter mal bei Wikipedia, dass Einheiten mit

^- 1

geschrieben sind, zum Beispiel mol^-1. Was hat es damit auf sich?
mfG,
BinDummsorry

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Satz des Pythagoras

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11:23 Uhr, 02.06.2019

{sin}^{- 1}

benutzt man, wenn man aus dem sinus-Wert den zugehörigen Winkel im Grad- oder Bogenmaß ermitteln will.

Beispiel:

{sin}^{- 1} (\frac{1}{2} \sqrt{2}) = \frac{π}{4} =

45° (Die Periode und den 2. Wert unterschlage ich hier)

BinDummsorry aktiv_icon

12:37 Uhr, 02.06.2019

Vielen Dank!
Aber was hat es mit

^- 1

allgemein auf sich. Beispielsweise vor Einheiten, wie mol^-1? Und was ist nur sin?
mfG,
BinDummsorry

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13:02 Uhr, 02.06.2019

mol^-1 = 1/mol = pro mol

Beispiel:

sin (\frac{π}{4}) =

sin(45°)=

\frac{1}{2} \sqrt{2}

sin allein ist die Abkürzung für Sinus.

Roman-22

13:23 Uhr, 02.06.2019

Das mit dem hoch

- 1

ist eine unglückliche Geschichte, da es unterschiedliche Bedeutungen hat.
Geht es um Zahlen, Variable oder Einheiten wie

m o l,

dann bedeutet die Hochzahl

- 1

schlicht den Kehrwert. Also

x^{- 1} = \frac{1}{x}

. Somit bedeutet

m o l^{- 1}

einfach

\frac{1}{m o l},

"pro mol". Oder

m \cdot s^{- 1}

steht für

\frac{m}{s}

.

Dummerweise hat man die gleiche Bezeichnung auch bei Funktionen verwendet um deren Umkehrung zu bezeichnen. Und auch wenn "Umkehrung" so ähnlich wie "Kehrwert" kling, ist das doch etwas völlig anderes. Eine Funktion

y = f (x)

kannst du dir vorstellen wie eine Blackbox, in der du einen x-Wert reinwerfen kannst und es wird ein y-Wert rauskommen. Jene Blackbox. in der du nun diesen y-Wert reinwirfst und es kommt genau der ursprüngliche x-Wert wieder raus, nennt man die Umkehrung von

y = f (x)

und bezeichnet sie mit

f^{- 1} (x)

. Und das hat nun nichts, aber auch schon gar nichts mit dem Kehrwert

\frac{1}{f (x)}

zu tun!
Wenn

f (x) = \sqrt{x}

ist, dann ist

f^{- 1} (x) = x^{2}

Ist

f (x) = e^{x},

dann ist

f^{- 1} (x) = ln (x)

.
Bei Funktionen hat das hoch

- 1

also eine andere Bedeutung als bei Variablen, Konstanten, Einheiten,

. .

.

Und dann hat man sich für ein paar ausgewählte, öfter auftretende Funktionen eine Schreibbequemlichkeit einfallen lassen und in der Norm ISO-800000-2 festgeschrieben, dass man zB. anstelle von

sin (x)

einfach nur

sin x

schreiben darf und anstelle von

{(sin (x))}^{2}

einfach nur

{sin}^{2} x

. Das ist bequem und gilt natürlich auch für

{sin}^{12} x

oder für

{sin}^{- 5} x

und eben auch für

{sin}^{- 1} x

. Damit das konsistent bleibt, MUSS aber

{sin}^{- 1} x

daher die Bedeutung von

\frac{1}{sin x}

haben und darf eben NICHT für die Umkehrung stehen.
Die Konsequenz ist, dass man bei benannten Funktion, deren Umkehrungen auch Namen haben, die Schreibweise mit dem hoch

- 1

NICHT für die Umkehrung verwenden darf, sondern diese die Bedeutung von Kehrwert hat, wie bei Variablen auch.
Wenn man die Umkehrung der Sinusfunktion meint, muss man

a r c s i n

schreiben und NICHT

{sin}^{- 1}

.

Und damit die Sache nicht zu einfach wird, haben die meisten Taschenrechnerproduzenten beschlossen, sich nicht an diese Norm zu halten und beschriften zB die Taste für die Umkehrfunktion der Sinus-Funktion fälschlicher- und verwirrenderweise mit

{sin}^{- 1}

.
Wenn du also, mathematisch korrekt geschrieben,

α = a r c s i n (0,5) = 30^{\circ}

mit dem Taschenrechner ermitteln möchtest, so musst du dort leider die

{sin}^{- 1}

Taste verwenden. Und auch, wenn man das immer öfter sieht - vermeide bitte zu schreiben

{sin}^{- 1} (0,5) = 30^{\circ},

denn das ist formal falsch. In der Mathematik ist

{sin}^{- 1} (0,5) = \frac{1}{sin (0,5 r a d)} \approx 2,086

.

Noch eine Anmerkung zu supporters Bemerkung. Auch er hat leider die Bezeichnung

{sin}^{- 1}

falsch verwendet.

a r c s i n (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^{\circ}

und sonst nichts! Es gibt keine "zweite Lösung".
Der Wertebereich von

a r c s i n (x)

ist

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

bzw.

[- 90^{\circ};

90^circ

]

und die Funktion ist da eindeutig definiert.
Was supporter gemeint hat ist, dass die Gleichung

sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

[0; 360^{\circ})

zwei Lösungen hat und in

ℝ

unendlich viele.

Das ist ähnlich wie bei der Quadratwurzel im Reellen. Da hat man auch definiert, dass die Wurzel einer (nicht-negativen) Zahl immer positiv (oder Null) sein möge.

\sqrt{4} = + 2

und sonst nix.
Aber die Gleichung

x^{2} = 4

hat die beiden Lösungen

x_{1} = + \sqrt{4} = 2

und

x_{2} = - \sqrt{4} = - 2

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