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Wie Funktionen mit Potenzen schneiden?

Schüler

Tags: Funktion, Potenz

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14:53 Uhr, 17.09.2022

Wie entweder per Graphik oder Rechnen
Funktionen schneiden,
mit der Frage
gibt es
keine Schnittpunkte
wieviele Schnittpunkte
unendlich viele Schnittpunkte ?

also 7 hoch

n

schneiden mit

11

hoch

m

32781

etc schneiden mit

41664

etc.

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

16:13 Uhr, 17.09.2022

> 32781 etc schneiden mit 41664 etc.

Bei so formulierten Fragen bekommt man tatsächlich einen Knoten in der Leitung. Der ganze Beitrag wirkt wie ein furchtbar verunglückter Copy+Paste-Versuch. Vielleicht versuchst du es nochmal von vorn und achte dabei auf Lesbar- und Verständlichkeit deiner Anfrage.

N8eule

16:38 Uhr, 17.09.2022

Hallo
Der Teil mit
"7 hoch

n

schneiden mit

11

hoch m"
war ja vielleicht noch halbwegs Verdachts-bestärkend.
Vermutlich suchst du die Schnittpunkte zweier Funktionen, nennen wir sie mal

f (n) = 7^{n}

und

g (n) = 11^{n}

Falls ja, dann überleg mal, was ist eigentlich eine Zahl hoch Null?
Wenn du dann noch eine gute Skizze machst, sollte das Studium vielleicht gut vorran kommen.

N8eule

16:46 Uhr, 17.09.2022

Eine andere Vermutung könnte sein, dass du vielleicht Ganzzahl-Operationen erwägst.
Also zB.

7^{n} = 11^{m}

mit

n, m

aus den ganzen Zahlen.

Falls ja, dann solltest du mal die Primzahl-Zerlegungen von

7^{n}

oder

11^{m}

untersuchen.

leitungsknoten aktiv_icon

11:14 Uhr, 18.09.2022

Sorry

Das war nicht gemeint.

X

hoch Null ist 1.

Richtig?

Beispiel:

3 hoch

4 = 9

hoch

2 =

Schnittpunkt

= 81

.

Es geht um alle natürlichen Zahlen.
These:
Es gibt immer unendlich viele Schnittpunkte.
Richtig?

Frage wie einfach berechnen?

Allgemein Wann

x

hoch

n = y

hoch

m

.

Ist das verständlicher?
Bitte nachfragen.
Danke.

N8eule

11:19 Uhr, 18.09.2022

x

hoch Null ist 1

x^{0} = 1

richtig! :-)

zum Rest:
"Ist das verständlicher?"
Nein.

N8eule

12:43 Uhr, 18.09.2022

Aus deinem Kauderwelsch könnte man vermuten,

a)

dass du die Gleichung

3^{n} = 9^{m}

auf Ganzzahl-Lösungen untersuchen willst.
Da

9^{m} = {(3^{2})}^{m} = 3^{2 \cdot m} = 3^{n}

\to

hast du mit

2 \cdot m = n

naheliegenderweise unendlich viele Lösungen.

b)

dass du die Gleichung

7^{n} = 11^{m}

auf Ganzzahl-Lösungen untersuchen willst.
Kurzfassung: Die Primzahlzerlegung zeigt, dass die Gleichung nur eine einzig mögliche Lösung

n = m = 0

7^{0} = 11^{0} = 1

haben kann.

c)

"These: Es gibt immer unendlich viele Schnittpunkte."
Was auch immer du unter Schnittpunkten oder mit dieser Aussage aussagen willst

>

wäre noch deutlich genauer zu erklären,

>

ist höchst wahrscheinlich falsch. (Begründung: siehe (Gegen-) Beispiel

b))

HAL9000

14:23 Uhr, 18.09.2022

> Allgemein Wann x hoch n=y hoch m.

Es ist wohl keine Kunst zu sagen, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen

x, y, n, m

in ganzen Zahlen hat.

Deinen wirren Auslassungen nach kann man allenfalls ahnen, dass es dir auf die Anzahl der Lösungen

n, m

bei FEST vorgegegeben

x, y

ankommt - ist es das, was du meinst? Also beispielsweise der Gleichung

3278 1^{n} = 4166 4^{m}

leitungsknoten aktiv_icon

12:49 Uhr, 19.09.2022

Ich probiere es nochmal.

3 hoch 2
3 hoch 3
3 hoch 4
3 hoch 5

dann
4 hoch 2
4 hoch 3
4 hoch 4

bis
4 hoch

100

oder bis unendlich

Dann
5 hoch 2
5 hoch 3
5 hoch 4
etc

Das mit

6
7
etc.

Das sind Funktionen.
Richtig?

Die kann man zeichnen.
Verständlich?

Wie zeichne oder berechne ich die Schnittpunkte.

Beispiel für Schnittpunkt.

3 hoch 4 schneidet 9 hoch 2 bei

81

.

Nun besser?

HAL9000

13:17 Uhr, 19.09.2022

Nun, das klingt nach dem, was ich zuletzt angeboten hatte. Da du aber auf die Bemühungen nicht eingehst, dein Anliegen in solide mathematische Beschreibungssprache zu fassen, und weiterhin meinst alles allein mit Beispielen erklären zu müssen, gebe ich auf. Zu deinem Glück ist N8eule da viel geduldiger. :-)

N8eule

15:44 Uhr, 19.09.2022

wirklich mehr beizutragen weiß ich auch nicht...

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16:51 Uhr, 20.09.2022

Sorry
was ist an Frage nicht verständlich.

Sie ist aussergewöhnlich,
gebe ich zu.

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16:58 Uhr, 20.09.2022

a^{b}

ist eine Zahl.

f (a) = a^{b}

ist eine Funktion, ebenso wie

f (b) = a^{b}

Was genau ist dein Problem?
Worum geht es dir KONKRET?

N8eule

00:41 Uhr, 21.09.2022

Ein "Das war nicht gemeint." ist nicht ausreichend, um zu verstehen zu geben, was denn nun gemeint war.

Unsere besten Annahmen hatten wir ja schon bestmöglich entgegenkommend benannt und kommentiert.
Was ist an unseren Antworten nicht verständlich?
Du gehst nicht darauf ein.
Du hast noch nicht mal erklärt, ob denn die Vermutung vom

22 - 09 - 17; 16 : 38 h,

oder die Vermutung vom

22 - 09 - 17; 16 : 46 h

gemeint war,
oder was an den Vermutungen falsch wäre,
oder wie die Vermutungen in treffendere Aufgabenstellungen zu präzisieren wären...

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14:26 Uhr, 21.09.2022

I
"These: Es gibt immer unendlich viele Schnittpunkte."
Was auch immer du unter Schnittpunkten oder mit dieser Aussage aussagen willst

>

wäre noch deutlich genauer zu erklären,

>

ist höchst wahrscheinlich falsch. (Begründung: siehe (Gegen-) Beispiel b))."

und

II
"Es ist wohl keine Kunst zu sagen, dass diese Gleichung unendlich viele Lösungen

x, y, n, m

in ganzen Zahlen hat"

Ich vermute
II
ist richtig.

Falls nun II
richtig ist
wie kann ich einfach die Schnittpunkte berechnen oder zeichnen?

Beispiel, was verstehe ich unter Schnittpunkt?

3 hoch

4 = 9

hoch 2
der Schnittpunkt ist

81

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15:01 Uhr, 21.09.2022

a^{m} = b^{n}

m \cdot ln a = n \cdot ln b

m = \frac{n \cdot ln b}{ln a}

oder:

n = \frac{m \cdot ln a}{ln b}

Man kann die Schnittpunkte nur in der gegenseitigen Abhängigkeit zwischen

m

und

n

angeben.

9^{2} = 3^{4}

sind verschiedene Schreibweisen für dieselbe Zahl.

Wir drehen uns weiter im Kreis.

Roman-22

16:00 Uhr, 21.09.2022

Da du keine geometrischen Objekte definiert hast, die einander schneiden können, solltest du nicht von "Schnittpunkten" sprechen.
Auch den Begriff "Funktion" hast du zwar erwähnt, aber keine konkret angegeben.

a^{m}

ist keine Funktion, sondern nur ein Term.

9^{2}

ist eine Potenz, die man numerisch zu

81

auswerten kann. Ebenso

3^{4} = 81

.

Wenn es dir nur darum geht, Beispiele zu finden für Potenzen, die ausgewertet die gleiche Zahl ergeben, solltest du das auch so sagen. Also Beispiele für

a, b, m

und

n

mit der Eigenschaft, dass

a^{m} = b^{n}

ist.
Und wenn du dann noch möchtest, dass

a, b, m

und

n

nur natürliche Zahlen sind, musst du das natürlich auch kundtun.
Falls das alles zutrifft, hat man dir mit Hinweis auf Primfaktorzerlegung ja schon etwas gesagt.
Dass mit

a = b = 0

oder

a = b = 1

jede Wahl für

m

und

n

zu einer trivialen Lösung führt, sollte klar sein

\to 1^{17} = 1^{321} = 1

Auch mit

m = n = 0

führt jede Wahl von a und

b

zu einer ebenso trivialen Lösung

\to 113^{0} = 31^{0} = 1

Ein einfaches Rezept, wie du Beispiele wie etwa

3^{12} = 9^{6} = 27^{4} = 81^{3} = 729^{2} = 531441

finden kannst, ist auch leicht angebbar:
Wähle dir eine beliebige positive ganze Zahl

\to

zB 3
Wähle dir eine zweite positive ganze Zahl, welche aber keine Primzahl un dmöglichst auch keine Quadratzahl ist

\to

12

Zerlege nun diese zweite Zahl in zwei verschiedene ganzzahlige Faktoren (von denen keiner 1 ist)

\to

12 = 2 \cdot 6

Dann kannst du etwa mit diesen Beispielzahlen schreiben

3^{12} = 3^{2 \cdot 6}

und dann weiter entweder

3^{2 \cdot 6} = {(3^{2})}^{6} = 9^{6}

oder

3^{2 \cdot 6} = 3^{6 \cdot 2} = {(3^{6})}^{2} = 729^{2}

und schon hast du mit

9^{6} = 729^{2}

ein solches Potenzen-Paar mit gleichem Wert

(3^{12} = 531441)

ermittelt.
Hättest du in diesem Beispiel

12

zerlegt in

3 \cdot 4,

wärst du auf

27^{4} = 81^{3}

gekommen.
Allen diesen Beispielen

a^{m} = b^{n}

ist gemeinsam, dass die Basen a und

b

Potenzen der gleichen Zahl sind (im Beispiel sind alle Basen Potenzen von

3)

leitungsknoten aktiv_icon

18:59 Uhr, 22.09.2022

Erstmal Entschuldigung.

a hoch

n

und

b

hoch

m

sind keine Funktionen,
sondern jeweils ein Term.

Hier die Funktionen:

2 hoch

n

3 hoch

m

4 hoch

p

5 hoch

t

n, m, p, t

natürliche Zahlen von 2 bis unendlich.

Ich hoffe, nun ist es ok.
Per Hand ausprobiert
werden sich 4 hoch

p

und 6 hoch

w

niemals schneiden.

Richtig?

Meine Fragen zielt ja
wie berechnen
welche Funktionen
sich nie schneiden können
und welche Funktionen sich unendlich oft schneiden können.

Funktionen wie 3 hoch

n

und 9 hoch

z

werden sich unendlich oft schneiden.

Gilt das aber nur für solche Paare?

N8eule

19:04 Uhr, 22.09.2022

Auch ich appelliere darum, nicht von 'Schnittpunkten' zu sprechen, wenn sich keine Funktionen schneiden,
sondern von Lösungen ganzzahliger Gleichungen.

"werden sich 4 hoch

p

und 6 hoch

w

niemals schneiden."
Falsch.
Es gibt EINE Lösung:

p = w = 0

4^{0} = 6^{0} = 1

Das Stichwort 'Primzahlzerlegung' war ja schon mehrfach und wiederholt benannt...

Wir drehen uns weiter im Kreis.

HAL9000

21:28 Uhr, 22.09.2022

Ich gehe jetzt einfach davon aus, dass leitungsknoten nichts greifbares zu entlocken ist, daher einfach ein paar Gedanken zu der einen möglichen Betrachtungsweisen dieser Gleichung, die ich oben schon angesprochen hatte:

Für FEST VORGEGEBENE ganze Zahlen

x > 1, y > 1

besitzt die Gleichung

x^{n} = y^{m}

entweder nur die eine ganzzahlige Lösung

(n, m) = (0, 0)

oder aber unendlich viele solche Lösungen. Letzteres tritt genau dann ein, wenn

\frac{\ln (x)}{\ln (y)} = r

rational ist. Eine andere Charakterisierung geschieht über die Primfaktorzerlegungen von

x, y

:

Sie müssen zum einen beide dieselben Primfaktoren

p_{1}, \dots, p_{s}

enthalten, d.h.

x = p_{1}^{u_{1}} \cdot \dots \cdot p_{s}^{u_{s}}

und

y = p_{1}^{v_{1}} \cdot \dots \cdot p_{s}^{v_{s}}

. Zum anderen müssen aber die

s

Brüche

\frac{u_{1}}{v_{1}}, \dots, \frac{u_{s}}{v_{s}}

auch alle dieselbe rationale Zahl ergeben (nämlich auch wieder genau dieses

r

). Mit der vollständig gekürzten Darstellung

r = \frac{p}{q}

kann man dann auch alle Lösungen der Gleichung

x^{n} = y^{m}

angeben: Das sind

(n, m) = (k q, k p)

für alle ganzen Zahlen

k

.

Beispiel 1)

x = 64, y = 256

:
Da ist

64 = 2^{6}

und

256 = 2^{8}

und damit

r = \frac{3}{4}

, die Lösungen von

6 4^{n} = 25 6^{m}

sind dann

(n, m) = (4 k, 3 k)

, d.h. (0,0), (4,3), (8,6), (12,9), ...

Beispiel 2)

x = 4, y = 6

:
Da ist

4 = 2^{2}

und

6 = 2^{1} \cdot 3^{1}

, und schon ist es vorbei: unterschiedliche Menge von Primfaktoren.

Beispiel 3)

x = 12, y = 6

:
Da ist

12 = 2^{2} \cdot 3^{1}

und

6 = 2^{1} \cdot 3^{1}

. Auch das klappt nicht, denn die beiden Exponentenbrüche

\frac{2}{1}

(für Primfaktor 2) sowie

\frac{1}{1}

(für Primfaktor 3) sind nicht einander gleich - auch hier ist es vorbei.

Es ist also eher sehr selten, dass

x, y

diese Bedingung erfüllt.

HAL9000

10:08 Uhr, 23.09.2022

Oder man betrachtet das ganze aus anderer Perspektive: Welche Paare

x, y

positiver ganzer Zahlen mit

x^{n} = y^{m}

gibt es bei fest vorgegebenen Exponenten

n, m

?

Hier kommt man (ebenfalls über die Primfaktorzerlegung begründbar) zu folgendem Resultat: Sei

g = ggT (n, m)

, dann ist für jede positive ganze Zahl

k

das Paar

(x, y) = (k^{\frac{m}{g}}, k^{\frac{n}{g}})

eine Lösung der obigen Gleichung. Umgekehrt ist aber auch jede Lösung der Gleichung in dieser Form darstellbar.

Die Rückrichtung ist sicher der schwierigere Beweisteil.

Beispiel:

n = 4, m = 6

, da ist

g = ggT (4, 6) = 2

, und wir bekommen die Lösungspaare

(x, y) = (k^{3}, k^{2})

, das wären dann (1,1), (8,4), (27,9), (64,16), (125,25), ...

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19:40 Uhr, 23.09.2022

Ich möchte Funktionen schneiden

2481632

mit andereren Funktionen.

Ist das so bitte richtig formuliert?

Funktioniert es nur wenn

x

Primfaktor von

y

ist

also

3927

etc

981243

etc?

Danke.

Sagt man "schneiden"?

HAL9000

21:51 Uhr, 23.09.2022

Jetzt verstehe ich erst, was du mit diesen merkwürdigen Zahlen meinst:

3927 steht bei dir für 3,9,27 also die Dreierpotenzen

Und 981243 steht für 9,81,243 also auch für Dreierpotenzen (diesmal aber nicht lückenlos)

Wenn du willst, dass deine Beiträge ernst genommen werden, dann schreib nicht in so einem besch..senen Hieroglyphenstil, den man erst mühselig entziffern muss!!! Zudem sind deine Fragen eigentlich schon beantwortet - du merkst es bloß nicht, weil du die Antworten nicht wirklich durchliest.

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19:12 Uhr, 24.09.2022

Danke.

Leider nicht verstanden.

Für

x

hoch

n

y

hoch

m

gibt es nur eine Lösungen,
wenn

y

ein Vielfaches von

x

ist.

Richtig?

N8eule

19:36 Uhr, 24.09.2022

leider nein...

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13:26 Uhr, 25.09.2022

Gibt es auch für

4
6
8

Lösungen?

Aber für 5 und 7 gibt es keine Lösungen?

Danke.
Sorry für schlechtes Deutsch.

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13:39 Uhr, 25.09.2022

Wielange soll das noch weitergehen? Wochen,Monate,... Millenien?

Masch-v-W aktiv_icon

13:42 Uhr, 25.09.2022

In der Unendlichkeit gibt es viel Zeit und Raum...

@Fragestellerin, wenn dein Deutsch nicht so gut ist, schreib es halt in Latex.

N8eule

14:37 Uhr, 25.09.2022

Du hast streng genommen immer noch nicht klar gestellt, was du denn willst.
Es steht immer noch die Vermutung im Raume, dass du Lösungen von Ganzzahlgleichungen suchst.

c)

4^{n} = 6^{m}

hat nur eine Lösung:

n = m = 0

4^{0} = 6^{0} = 1

d)

6^{n} = 8^{m}

hat nur eine Lösung:

n = m = 0

6^{0} = 8^{0} = 1

e)

4^{n} = 8^{m}

hat unendlich viele Lösungen, nämlich:

4^{n} = {(2^{2})}^{n} = 2^{2 \cdot n} = 2^{2 \cdot \frac{3}{3} \cdot n} = {(2^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot n} = 8^{\frac{2}{3} \cdot n} = 8^{m}

also für

m = \frac{2}{3} \cdot n

Das Stichwort zum Studium hat man dir schon mindestens 5-mal benannt: Primzahlzerlegung.
Und du bist seit geschlagenen 8 Tagen und

9 (\in

Worten: NEUN) Antworten noch nicht drauf eingegangen.
Wir drehen uns weiter im Kreis.

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19:28 Uhr, 26.09.2022

Ist das so richtig?

X

vielfaches von

y

dann Gleichung

x

hoch

a = y

hoch

b

hat Lösungen.

zB

3
9

81

Für
teilerfremde Zahlen

4 und 5 und 7
gibt es keine Lösung.

Richtig?

Falls es ein KGV gibt,
dann gibt es auch keine Lösung wie zB 4 und 6?

Danke für nette Hilfe.

Roman-22

19:56 Uhr, 26.09.2022

Wir dürfen also davon ausgehen, dass du GANZZAHLIGE Paare

(a; b)

suchst, die die Gleichung

x^{a} = y^{b}

(mit GANZZAHLIGEN

x

und

y)

erfüllen. Ist das richtig?
Du hast diese Frage ja trotz unzähliger entsprechender Nachfragen leider noch immer nicht beantwortet, sondern bombardierst uns stattdessen immer-wiederkehrend mit nichtssagenden Zahlenfolgen wie eben

3,9,27,81, . .

. oder gar

392781 . .

.

Wenn die obige Annahme richtig ist, dann ist es falsch, dass es Lösungen gibt, falls

y

ein Vielfaches von

x

ist.
Für die Gleichung

3^{a} = 6^{b}

wirst du keine Lösung finden außer der trivialen

(0; 0)

Umgekehrt hat die Gleichung

9^{a} = 27^{b}

sehr wohl auch nicht-triviale Lösungen wie zB

(3; 2)

oder auch

(9; 6)

. Allgemein ist jedes Paar

(3 \cdot k; 2 \cdot k)

für alle

k \in ℤ

ein Lösungspaar.

Was du vielleicht gemeint hast ist, dass

x

und

y

Potenzen (nicht Vielfache!) der gleichen Zahl sein sollen. Im vorherigen Beispiel ist diese Zahl die Zahl

3,

denn

9 = 3^{2}

und

27 = 3^{3}

.
So kannst du auch leicht sehen, warum

9^{9} = 27^{6}

ist, wenn du alles auf die Basis 3 zurück führst, denn

9^{9} = {(3^{2})}^{9} = 3^{18}

und

27^{6} = {(3^{3})}^{6} = 3^{18}

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19:02 Uhr, 27.09.2022

x

und

y

und a und

b

sind Element

N =

natürliche Zahlen.

Nun ist

x

hoch

a = y

hoch

b

nur
wenn ich es richt gelesen habe

y

ein Vielfaches von

x

ist

also 3 und 9
oder 4 und

16

.

Aber nicht
5 und 7
oder 4 und 6.
Ist das richtig?

N8eule

19:14 Uhr, 27.09.2022

Wenn du mal die Beispiele, die du selbst provoziert hast, liest und berücksichtigst, dann

hat die Ganzzahl-Gleichung

x^{a} = y^{b}

dann mehr als die triviale Lösung, wenn die Exponenten
a und

b

in ganzzahligem Verhältnis stehen,

z . B

. (siehe oben):

4^{a} = 8^{b}

2 \cdot a = 3 \cdot b

PS: Aah, sorry, und ja (fast) richtig:

Um mehr als die triviale Lösung für die Ganzzahl-Gleichung

x^{a} = y^{b}

zu haben, muss (das größere aus

x

und)

y

ein Vielfaches vom (kleineren aus

y

und)

x

sein.

Das ist aber nötige - nicht hinreichende - Bedingung.

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17:24 Uhr, 28.09.2022

" Vielfaches"

Danke für die Hilfe.

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17:26 Uhr, 28.09.2022

Danke für die Hilfe.
Habe es nun verstanden.

Wenn ich auf "Frage wurde beantwortet" klicke
wollte ich,
dann stürzt Forum ab.
Sorry, was falsch gemacht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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