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Wie finde ich die fehlenden Koordinaten?

Schüler Gymnasium,

Tags: Bestimmung eines fehlenden Punktes, Lineare Algebra, orthogonalität, Rechtwinkliges Dreieck

shooting-star aktiv_icon

13:52 Uhr, 13.09.2013

Bitte um Hilfe! :-)))

Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreicks ABC:

A (1,1,1)

C (3,2,5)

a .)

Bestimmen Sie die den Punkt

B,

dessen Koordinaten alle denselben Wert haben, also

B (x, x, x), x

ist der einzige gesuchte Wert, so dass das Dreieck ABC rechtwinklig bei

C

ist.

b .)

Bestimmen Sie den Punkt

B (x, x, x)

so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig bei

B

ist.

c .)

Bestimmen Sie a und

b

so, dass der Vektor

(1,2,3)

senkrecht auf den beiden Vektoren

(a,4,5)

UND

(4, b,1)

steht.

Lösungsvorschlag:

zu

a .)

Vektor A steht senkrecht auf C. Vektor

B

muss auch senkrecht auf

C

stehen. Denn der Winkel im Punkt

C

ist

90

Grad.

Da

B

senkrecht auf

C

stehen muss, wende ich das Skalarprodukt an (Orthogonalität)

Also:

A \cdot C = 0

Das Skalarprodukt der Vektoren A und

C

muss null sein: Rechnung:

1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 5 = 0

? Leider stimmt diese Rechnung nicht. DA

10 \cdot x

ungleich 0.

Wo ist hier der Denkfehler?

Auch die Suche nach

B

ist wohl denkfehlerbehaftet:

B

steht senkrecht auf

C :

Rechung mit Skalarprodukt:

3 \cdot x + 2 \cdot x + 5 \cdot x = 0

10 \cdot x = 0

Daraus folgt:

x = 0

B (0,0,0)

Aber das ist wohl falsch, gell? Wäre ja viel zu leicht ;-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Stephan4

14:45 Uhr, 13.09.2013

Du schreibst:
"Vektor A steht senkrecht auf C."
Du meinst wohl:
"Vektor

\vec{C A}

steht senkrecht auf Vektor

\vec{C B}

\vec{C A} = A - C

Kommst Du damit weiter?

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16:13 Uhr, 13.09.2013

a)

Vektor AC(2;1;4) steht senkrecht zu BC(3-x;2-x;5-x)
also heisst das Skalarprodukt

2 \cdot (3 - x) + 1 \cdot (2 - x) + 4 \cdot (5 - x) = 0

x = 4

also ist Punkt

B (4; 4; 4)

b)

Ich würde behaupten wollen, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt.
Auf einer Thaleskugel über dem Mittelpunkt von AC
Ich habs zwar auch hier mit Skalarprodukt probiert, bin auf

x = 1

gekommen.
Da aber schon

A (1; 1; 1)

ist geht das offensichtlich nicht

bei der letzten bin ich mit Skalarprodukt auf

a = - 23

und

b = - 3.5

gekommen

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16:59 Uhr, 13.09.2013

Und hier noch ein Bild, das meine Aussagen bekräftigt. Ich habe mal einen Punkt

B_{2}

in die Kugel eingesetzt.

Stephan4

18:39 Uhr, 13.09.2013

Du bist mit dem Skalarprodukt auf keine brauchbare Lösung gekommen?

Was willst Du damit sagen, Femat?

Und trotzdem würdest Du behaupten wollen, dass es unendlich viele Möglichkeiten gibt?
Gib doch ein paar davon an. Oder wenigstens eine. Vielleicht hilft Dir Deine schöne Zeichnung dabei.

Was empfiehlst Du nun als Lösung?

Übrigens:
Echt beeindruckend, wie Du Punkt a gelöst hast.

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19:21 Uhr, 13.09.2013

Punkt

B 2

in meiner Zeichnung liegt auf der Kugel. Die Koordinaten im algebrateil ablesbar.
Der Winkel stimmt
Ich würde einer Lehrperson einfach die Kugelgleichung präsentieren

Stephan4

19:44 Uhr, 13.09.2013

Ach so, die Kugelgleichung aus Deiner Zeichnung. Ja, jetzt sehe ich sie auch, Und auch

B 2

.
Nur

B 2

hat unterschiedliche Koordinaten, entgegen der Aufgabenstellung.

Kann man Deiner Zeichnung irgendwie entnehmen, dass es keine Lösung gibt? Oder kann man ihr entnehmen, dass es eine Lösung gibt?

Und noch eine Frage zu Deinem Beitrag:
Du schreibst, dass Du mit dem Skalarprodukt auf

x = 1

gekommen bist. Könntest Du vielleicht zeigen, wie Du das gemacht hast?

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20:03 Uhr, 13.09.2013

Zitat:Nur

B 2

hat unterschiedliche Koordinaten, entgegen der Aufgabenstellung

Zitat Aufgabenstellung

b .)

Bestimmen Sie den Punkt

B (x, x, x)

so, dass das Dreieck ABC rechtwinklig bei

B

ist.

Ich könnte jetzt sogar nachvollziehen, dass

B

identisch A auch noch eine Lösung ist, denn der Vektor AB wäre dann

(0,0,0)

und das skalar multipliziert mit AC gibt sicher Null. Nur brauch man einen vorzüglichen Optiker, um den rechten Winkel erkennen zu können. Das Dreieck mutiert zu einer Strecke!

Aber bitte lasst mich jetzt nicht auch noch die Fläche berechnen!

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20:15 Uhr, 13.09.2013

Und hier auf speziellen Wunsch von Stephan, ja wer denn sonst

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20:23 Uhr, 13.09.2013

Und die TE sass in der wunderbaren roten Kugel und bestaunte die Abermillionen

B' s,

die orthogonal zu AC strahlen.

Stephan4

20:50 Uhr, 13.09.2013

Verzeih, ich wollte nur helfen.

Shooting-star hat sich offensichtlich schon verzogen.

In Deinem unterbelichteten Rechenweg ist ein Rechenfehler. Kommst Du selbst drauf oder brauchst Du Hilfe?

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21:00 Uhr, 13.09.2013

Ja sag mir den Fehler bitte.

Stephan4

21:04 Uhr, 13.09.2013

Die letzten drei Zeilen sind falsch.

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21:05 Uhr, 13.09.2013

Nein ist ok ich hab ihn grad gefunden, das wird ja sogar quadratisch

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21:15 Uhr, 13.09.2013

so kommt auch noch als Koordinaten

\frac{10}{3}

heraus
Und der Punkt

(\frac{10}{3}; \frac{10}{3}; \frac{10}{3})

liegt auch auf meiner Kugel, ist also eine der Millionen Lösungen.
Danke Stephan für deine Aufmerksamkeit!

Stephan4

21:29 Uhr, 13.09.2013

Du hast hoffentlich nicht die quadratische Gleichung ausgerechnet, Faktoren Null setzen ist einfacher.

Ich habe shooting-star einen Hinweis gegeben, den er offensichtlich nicht aufgegriffen hat.

Dann hast Du versucht, die Lösung hinzuschreiben, was Dir in einem Punkt nicht gelungen ist.

Auf meine Hinweise dazu bist Du erst nach einigem Nachfragen eingegangen.

Gut jetzt haben wir eine Lösung, aber keinen Lösungsweg.

Und die anderen Millionen Lösungen lässt Du Dir immer noch nicht ausreden.

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21:36 Uhr, 13.09.2013

Ich hätt auch gern eine Drittmeinung gelesen.
Wenn bitte jemand so gut wär.

Stephan4

21:40 Uhr, 13.09.2013

Begründe doch mal Deine Meinung.

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22:21 Uhr, 13.09.2013

Denk mal zweidimensional
Es ist ein rechtwinkliges Dreieck über der Strecke AC zu finden
Da wirst auch den Thales bemühen, um 1 oder besser sehr viele Lösungen zu finden

Stephan4

22:49 Uhr, 13.09.2013

Der gesuchte Punkt

B

hat drei gleiche Koordinaten. Und davon gibt es nur einen, der passt. Außer A natürlich.
Einen, und nicht Millionen.

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23:12 Uhr, 13.09.2013

Jawoll
Du hast recht.

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23:29 Uhr, 13.09.2013

Ich fasse zusammen
Es gibt eine Lösung

x = \frac{10}{3}

Stephan4

01:24 Uhr, 14.09.2013

Na eben, warum nicht gleich?
Wenn Du schon Lösungen herschreibst, sollen sie auch richtig sein.

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09:22 Uhr, 14.09.2013

Ja Stephan wo du recht hast, da hast du recht.
Das ist die wahre Wahrheit.
Was wir beide in unserer kilometerlangen Diskussion verschlafen haben, ist folgendes:
Es gibt eine Gerade als geometrischen Ort, auf dem alle Punkte

x = y = z

haben.
Parameterform

z . B

(0; 0; 0) + t \cdot (1; 1; 1)

und die geschnitten mit meiner Thaleskugel
gibt 2 Schnittpunkte bei

t = 1

und

t = \frac{10}{3}

. Und weil ein Dreieck aus 3 Punkten besteht kommt die erste nicht in Frage, da liegt ja schon

A (1; 1; 1)

Ich schäme mich dafür, dass ich mich zu lange nur auf den rechten Winkel konzentriert habe und Rechenfehler in meinem unterbelichteten Lösungsweg produziert habe. Dafür hast du Stephan mich auf den rechten Weg gebracht. Thanks a lot

Femat aktiv_icon

09:28 Uhr, 14.09.2013

Warum machen wir eigentlich die Probleme uns fremder Leute zu den eigenen?
Wie wenn wir nicht schon genug hätten.

Stephan4

11:33 Uhr, 14.09.2013

Aufgabe

b)

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 0

(\begin{matrix} 1 - x \\ 1 - x \\ 1 - x \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 - x \\ 2 - x \\ 5 - x \end{matrix}) = 0

Skalar multiplizieren und

(1 - x)

herausheben.

(1 - x) \cdot (3 - x + 2 - x + 5 - x) = (1 - x) \cdot (10 - 3 x) = 0

\Rightarrow x = 1

ist unbrauchbar, denn das ist ja A.

\Rightarrow x = \frac{10}{3}

.

An Fermat:
Du hast in Deinem ersten Posting eine falsche Antwort gegeben. Ich wollte Dich auf den richtigen Weg führen.

Du hast eine Skizze gepostet. An der hättest Du vielleicht den gesuchten Punkt erkennen können. Auf meinen entsprechenden Hinweis bist Du nicht eingegangen.

Du hast dann die Kugelgleichung ins Spiel gebracht, und einen Punkt

B 2,

der aber die Koordinatenbedingung nicht erfüllt. Darauf habe ich Dich aufmerksam gemacht, aber Du bist darauf nicht eingegangen.

Eine kritische Betrachtung Deines Rechenganges, wie Du nicht auf

B

gekommen bist, hätte geholfen. Auf meinen Hinweis dazu bist Du auch nicht eingegangen.

Sätze wie:
"Aber bitte lasst mich jetzt nicht auch noch die Fläche berechnen!"

und
"Und hier auf speziellen Wunsch von Stephan, ja wer denn sonst"

weisen auf Deine ausgeprägte Beratungsresistenz hin, ebenso Deine Weigerung, Deine Rechnung auf Fehler zu prüfen.

Die Unterbelichtung bezieht sich auf das dunkle Bild, das Du hier rein gestellt hast. Zur besseren Lesbarkeit kann man das Blatt beleuchten oder nachbearbeiten.

Nach Anerkennung eines Fehlers hast Dich aber weiter gesträubt, die anderen Millionen Punkte zu vergessen, ein weiterer Fehler, der sich von Anfang bis zum Schluss durchgezogen hat.

Eine "zweidimensionale" Denkweise, wie Du sie mir empfohlen hast, ist da nicht ausreichend. Kilometerlange Diskussionen kannst Du vermeinden, wenn Du mehr auf Deine Kommunikationspartner eingehst.

shooting-star aktiv_icon

11:38 Uhr, 14.09.2013

Hallo,

vielen Dank für eure enorme Bereitschaft, mir zu helfen und eure total intelligenten Beiträge,aber ich bin noch Schülerin.

Ich habe gleich zur ersten Antwort zu

a .)

eine Frage:

Warum muss ich

A - C

rechnen und nicht

A + C

Stephan4

12:42 Uhr, 14.09.2013

Weil A und

C

sich auf den Ursprung beziehen, und

\vec{A C}

ist der Pfeil von A nach

C,

egal, wie weit weg sie vom Ursprung sind.

Wenn Du eine Skizze machst (ohne z-Koordinaten), siehst Du es.

Stell Dir vor, Du gehst auf einen 2000m-hohen Berg, und startest bei

1800 m

. Dann ist der Höhenunterschied

200 m,

also die Differenz und nicht die Summe.

Der Vektor von A nach

C

ist eben

C - A,

und
der Vektor von

C

nach A ist

A - C,

die Zahlen sind da wie bei

C - A,

aber nur mit umgekehrten Vorzeichen.

Verständlich? Fragen? Nur zu.

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