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Wie kommt man auf diese Wachstumskonstante?
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Differentialgleichung, MATH, Schule, Wachstum
 
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Guten Tag, ich habe gerade eine Aufgabe gesehen, die wie folgt lautet: In ein biologisches Klärbecken, das anfangs nicht verunreinigt ist, laufen pro Minute 90 Liter Abwasser ein. Die momentane Abbaurate des Wassers (in ) beträgt 6% des vorhandenen Abwassers. a)Stellen Sie eine Differenzialgleichung für die Funktion f auf, welche die Abwassermenge (in Litern) beschreibt, die sich zur Zeit t (in Minuten) in dem Becken befindet, und bestimmen Sie ihre Lösung. Wie viel Liter Abwasser sind höchstens im Becken? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Was ich mir bisher gedacht habe: Hier geht es um begrenztes Wachstum mit Schranke S=1500 (weil 0,061500= 90). DGL für begrenztes Wachstum: f'(x) = k(S-f(x)) mit S= 1500 -> f'(x)= k(1500-f(x)) weiter komme ich nicht! In den Lösungen steht, dass k=0,06. Ist für mich nicht klar,wieso. Immerhin hat man zwei Nebenbedingungen. 1.) 6% fließen ab 2.) aber 90 fließen ab! Bitte erklärt mir, wieso man einfach auf k= 0,06 kommt. Danke! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hier geht es um begrenztes Wachstum mit Schranke Das hast du dir wohl richtig überlegt, dass bei einer Füllmenge von Liter Gleichgewicht herrscht, also Zu- und Abflussrate gleich groß sind. Allerdings sollst du das nicht zum Aufstellen deiner DGL heranziehen. Dazu sollst du nur die Angabewerte benutzen und deutlicher, als in der Angabe gegeben, kann man es ja kaum ausdrücken - im Grunde ist das Aufstellen der DGL eine Abschreibübung - mach es dir also nicht zu kompliziert. Du schreibst ja selbst richtig: fließen ab aber lmin fließen ab! Eben (bei muss es natürlich "fließen zu" heißen) - also wie sieht dann daher die DGL aus? Ist dir klar, dass die momentane Änderungsrate angibt? Und die kannst du mithilfe dieser beiden Angaben direkt hinschreiben. Das momentane Volumen ist dabei natürlich wäre eine sinnvollere Bezeichnung, aber Angabe ist Angabe). Wenn du diese DGL dann löst (geht direkt mit Trennen der Variablen), erhältst du deine Modell mit Sättigung Liter automatisch. Bitte erklärt mir, wieso man einfach auf kommt. Indem man die Angabe liest Also nochmals: du sollst hier nicht selbst ein Modell wählen und in eine fertige Modellformel einsetzen, sondern einfach die Angabe in die Sprache der Mathematik umsetzen und die sich dabei ergebende DGL lösen. Dabei ergibt sich dann das von dir richtig vermutetet Modell des begrenzen Wachstums mit Sättigung Liter ganz automatisch. Also fang an: Woraus setzt sich die momentane Änderungsrate . zusammen? |
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Ja das ist die erste Ableitung, welche beim beschränkten Wachstum gegeben ist als: f'(t)= k(S-f(t)) Ich würde aber ganz allgemein sagen: f(x)=90x-0,06f(x-1) ist aber keine DGL. Die beiden Informationen in der Aufgabe helfen mir nicht weiter und eine "Abschreibeaufgabe" ist das auch nicht, finde ich. Die Frage ist nur, wieso sie für k= 0,06 nehmen! Damit ist doch nur die Hälfte aller Bedingungen "benutzt" ?! Also was soll ich tun? |
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Ja das ist die erste Ableitung, welche beim beschränkten Wachstum gegeben ist als: Du sollst aber nicht von beschränktem Wachstum ausgehen, sondern mit den Informationen aus der Angabe eine DGL aufstellen! Das wäre es im Grunde, was ich mit Abschreibübung gemeint hatte, allerindgs ist das falsch, weil du "diskret" denkst, also nur von einer Minute zur nächsten. Du sollst aber keine Differenzengleichung aufstellen, sondern eine Differenzialgleichung, da wir es mit einem stetigen Prozess zu tun haben und keinem, der bloß von einer Minute zur nächsten springt. Wir drehen nicht den Hahn für eine Minute auf, lassen die Liter rein, drehen dann wieder zu, lassen ab, drehen wieder für eine Minute auf, etc. Hier ändert sich ständig, in jedem Moment etwas. Und die Zuflussrate (im Endeffekt wirds ja immer mehr) ist in jedem Moment eine andere. Und es ist nur diese Zuflussrate, also die Ableitung für die du eine Gleichung angeben kannst, nicht selbst (dazu musst du dann eben die DGL lösen). Würden nur ständig Liter pro Minute zufließen, dann wäre eben und damit natürlich erübrigt sich, da sich wegen zu 0 ergibt). Jetzt fließen aber in jedem Moment (nicht in 1 Minuten Schritten) von der vorhandenen Menge ab. Welchen Einfluss hat das nun auf die Gesamtabflußrate ? Was also ist ? |
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Das wäre doch dann einfach nur 90 oder? |
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Das wäre doch dann einfach nur oder? Liest du eigentlich was ich dir schreibe?  |
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Ja, das weißt ich ja nicht. f'(x)=90-0,06f(x) Ich weiß es nicht, bitte sag es mir einfach. |
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Ja, das weißt ich ja nicht. Mag sein, aber dass es nicht "Das wäre doch dann einfach nur oder?" sein kann, das hätte dir auf jeden Fall klar sein müssen. Vor allem, wenn ich vorhin gerade geschrieben hatte, dass richtig wäre, wenn wir NUR den Zufluss hätten. Genau so ist es. Wenn du die korrekten Einheiten mitnimmst hats du auch noch die Möglichkeit einer Einheitenkontrolle um festzustellen, ob der Ansatz von daher stimmen kann. Links Volumen pro Zeit, rechts bei jedem Summanden Volumen pro Zeit. Also kein Widerspruch. Die DGL gilt es jetzt eben zu lösen (Trennen der Variablen). |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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