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Wie lautet die Funktionsgleichung?

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: extremum, Ganzrationale Funktion 4. Grades, Sattelpunkt, Tangent

susiu aktiv_icon

19:43 Uhr, 10.06.2010

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades besitzt bei

x = o

ein Extremum und bei

x = - 1

einen Sattelpunkt. Die Tangente bei

x = 1

hat die Gleichung

f (x) = 48 x - 48

. Wie lautet die Funktionsgleichung?

f´(0)=0

\Rightarrow d = 0

f´(-1)=0

\Rightarrow - 4 a + 3 b - 2 c + d = 0

= - 4 a + 3 b - 2 c = 0

f´´(-1)=0

\Rightarrow 12 a - 6 b + 2 c = 0

- 4 a + 3 b - 2 c = 0

- (12 a - 6 b + 2 c = 0)

= - 16 a + 9 b - 4 c = 0

weiter weiß ich nicht!

: (

Aber die Lösung ist mir bereits vorgegeben:

f (x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 17

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Shipwater aktiv_icon

19:53 Uhr, 10.06.2010

Möchtest du die gegebene Tangente bei

x = 1

nicht beachten? Funktion und Tangente haben an der Berührungsstelle sowohl den gleichen Funktionswert als auch die selbe Steigung.

Wurzel-Furzel aktiv_icon

20:58 Uhr, 10.06.2010

Also, erstmal schauen wir, wie eine ganzrationale Funktion 4-Grades aussieht.

Und zwar so:

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

die nennt man auch Polynomfunktion.

Die erste Ableitung:

f' (x) = 4 \cdot a \cdot x^{3} + 3 \cdot b \cdot x^{2} + 2 \cdot c \cdot x + d

Zweite Ableitung:

f'' (x) = 12 \cdot a \cdot x^{2} + 6 \cdot b \cdot x + 2 \cdot c

Hier muß man mit Hilfe von gegebenen Daten, sowie Ableitungen die Koeffizienten

a, b, c, d

und

e

bestimmen.

Schritt1:
Tangente bei

x = 1

y = m \cdot x + h = 48 \cdot x - 48 = 48 \cdot 1 - 48 = 0

,mit

m = 48

und

h = - 48

y = f (x = 1) = a + b + c + d + e = 0

(A)

a + b + c + d + e = 0

f' (x = 1) = 4 \cdot a + 3 \cdot b + 2 \cdot c + d = m = 48 - -

Steigung der Tangente bei

x = 1

(B) 4 \cdot a + 3 \cdot b + 2 \cdot c + d = 48

Schritt2:
Extremum bei

x = 0

Regel:

f' (x) = 0

f' (x = 0) = 0 = d - -

Steigung der Funktion ist gleich Null. Die Funktion hat Ihren Maximalwert bei

x = 0

(C) d = 0

Schritt3:
Sattelpunkt bei

x = - 1

Regel:f'(x)=0 und

f'' (x) = 0

Das heißt, dass der Wendepunkt die Steigung Null hat, deshalb nennt man ihn Sattelpunkt.

f' (x = - 1) = - 4 \cdot a + 3 \cdot b - 2 \cdot c + d = 0

(D) - 4 \cdot a + 3 \cdot b - 2 \cdot c + d = 0

f'' (x = - 1) = 12 \cdot a - 6 \cdot b + 2 \cdot c = 0

(E) 12 \cdot a - 6 \cdot b + 2 \cdot c = 0

Schritt4:
Nun hast du 5-Gleichungen, die ich oben mit

(A), (B), (C), (D), (E)

gekennzeichnet habe und 5-Unbekannten

a, b, c, d, e

.
Was kannst du mit dieser Erkentnis anfangen?

susiu aktiv_icon

21:35 Uhr, 10.06.2010

Ich weiß leider nicht, wie ich die Tangentengleichung in die Aufgabe einbringen soll

: (

wie komme ich denn auf den Funktionswert und auf die Steigung?

Ist es richtig, wenn ich so weiter rechne: f´(1)048

\Rightarrow a + 3 b + 2 c + d = 48

oder ist das sinnlos?

Shipwater aktiv_icon

21:36 Uhr, 10.06.2010

f (1) = 0

und

f' (1) = 48

sind die Werte der Tangente an der Berührungsstelle. Die gesuchte Funktion muss diese beiden Bedingungen ebenfalls erfüllen.

susiu aktiv_icon

21:41 Uhr, 10.06.2010

achso die Bedingung f´(1)

= 0

ist mir einleuchtend,
aber warum auch die Bedingung

f (1) = 0

???

susiu aktiv_icon

21:43 Uhr, 10.06.2010

Ich dachte, dass die Bedingung

f (1) = 0

bedeutet, dass die Steigung 0 ist !?

Shipwater aktiv_icon

21:44 Uhr, 10.06.2010

Weil Tangente und gesuchte Funktion an der Berührungsstelle sowohl den gleichen Funktionswert als auch die gleiche Steigung haben. Mach dir klar was eine Tangente ist und was berühren bedeutet.

susiu aktiv_icon

21:55 Uhr, 10.06.2010

ich habe jetzt diese Bedingungen in die Funktion 4. Grades eingestzt:

f (1) = 0 \Rightarrow a + b + c + d + e = 0

und
f´(1)

= 48 \Rightarrow 4 a + 3 b + 2 c + d = 48

dennoch bekomme ich dadurch keine weiteren Koeffizienten heraus.

Wurzel-Furzel aktiv_icon

22:48 Uhr, 10.06.2010

Nein

f (1) = 0

ist keine Bedingung, sondern es hat sich so ergeben, als du die Tangente bei

x = 1, y (1) = m \cdot x + k = 48 \cdot 1 - 48 = 48 - 48 = 0,

berechnet hast. Da

f (1) = y (1)

ist, folgt automatisch

f (1) = 0

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