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Wie nur Integral und Flächeninhalt miteinander?!

Schüler

Tags: Integral durch Fläche begrenzt, Tangent

emiliiie aktiv_icon

18:52 Uhr, 12.02.2015

Hallo Leute!

Ich verstehe die folgende Aufgabe ÜBERHAUPT NICHT und das ist mein Problem, sitze mal wieder seit Stunden an dieser Matheaufgabe, aber ich werde einfach nicht daraus schlau.. (Hatte sogar noch mehr Aufgaben als diese auf. Als ich jedoch merkte, dass ich auch bei der anderen nicht voran komme, hörte ich auf.

\to

Verzweiflung pur)

Die Aufgabe lautet:

Beweisen Sie: Der Graph von

f

mit

f (x) = x^{2},

die Tangente an

f \in P (a | f (a))

und die y-Achse begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt

A = (\frac{1}{3}) a^{3}

.

Ich kann mir leider leider wirklich rein gar nichts darunter vorstellen, außer vielleicht den Graphen für die Funktion

f,

ist ja eine Parabel..

Aber Was muss ich machen? Wie muss ich vorgehen? Was bekommt ihr raus?

Wäre sehr nett von euch mir zu helfen, danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

19:14 Uhr, 12.02.2015

. .

. mach' die doch mal 'ne Skizze. Das hilft schonmal ordentlich weiter.

Die Fläche stimmt nicht und die Tangente schneidet die x-Achse und nicht die y-Achse!

Zeichne die Parabel

y = x^{2}

und an einer beliebigen Stelle den Punkt

(\begin{matrix} a \\ a^{2} \end{matrix})

ein. An diesem Punkt skizzierst du die Tangente bis runter zur x-Achse.
Dann noch einen senkrechten Strich von Punkt

(\begin{matrix} a \\ a^{2} \end{matrix})

nach unten zur x-Achse zur Stelle

a

.

Fläche unter der Parabel von 0 bis a ist ja:

A_{1} = \int_{0}^{a} x^{2} d x

jetzt musst du davon das Dreick abziehen, welches durch die Tangente, senkrechten Strich und der x-Achse gebildet wird.
Die Steigung der Tangente an der Stelle a ist ja

2 \cdot a

(wegen

x^{2}' = 2 \cdot x)

Die Höhe des Dreiecks ist mit

f (a) = a^{2}

gegeben. Den Abschnitt auf der x-Achse erhälst du aus Steigung und Höhe

f (a) = a^{2}

Dieser ist dann

\frac{a^{2}}{2 \cdot a} = \frac{a}{2}

Das Dreieck hat dann die Fläche

\frac{\frac{a}{2} \cdot a^{2}}{2} = \frac{a^{3}}{4}

Dem zu Folge ist die eingeschlossene Fläche

A_{1} - \frac{a^{3}}{4} = \int_{0}^{a} x^{2} d x - \frac{a^{3}}{4} = . .

.

Dein

A = \frac{a^{3}}{3}

ist aber die gesamte Fläche unter der Parabel bis zu

a,

denn

\int_{0}^{a} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{3}

Die Lösung lauet also anders!

;-)

emiliiie aktiv_icon

19:25 Uhr, 12.02.2015

Hä,verstehe ich jetzt nicht.. Was meinst du mit die Fläche stimmt nicht und so? Die Fläche MUSS nämlich stimmen, weil in der Aufgabe steht dass man das beweisen soll. Also ist es schon sehr richtig und stimmt..

Was meinst du mit

\frac{a}{a^{2}}

ledum aktiv_icon

19:37 Uhr, 12.02.2015

Hallo Eddi
Die Tangente schneidet auch die y-Achse, also ist nach einer anderen Fläche gefragt, als der, von der du redest!
Gruß ledum

emiliiie aktiv_icon

19:40 Uhr, 12.02.2015

Wie meinst du das? Kannst du das mal näher erläutern vielleicht? Weil ich hab da ja nichts entschieden, die Aufgabe lautet so und da ist auch kein Fehler drin also ist y-achse schon durchaus richtig.

wie würdest du die aufgabe machen wenn sie genau so wie es oben in meiner frage steht gegeben wäre?

Edddi aktiv_icon

19:40 Uhr, 12.02.2015

Das soll die Koordinate eines Punktes sein. Also

x = a

und damit

y = a^{2}

nach deiner Funktionsvorschrift.

Dies schreibt man gern als Matrix/Spaltenvektor:

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ a^{2} \end{matrix})

Jetzt glaub' ich, habe ich auch die Aufgabe verstanden. Also kommt noch ein Stück Fläche im 4. Quadranten mit zu.

Diese Fläche ist genauso groß, wie das vorher rausgerechnete Dreieck (weil ja die Tangente die x-Achse bei

\frac{a}{2}

schneidet) und somit ist die Fläche dann also einfach:

A = \int_{0}^{a} x^{2} d x = . .

.

Und dann passt's auch mit deiner Lösung.

;-)

emiliiie aktiv_icon

19:44 Uhr, 12.02.2015

Hä, wo war denn jetzt dein Denkfehler? Du hast es zwar verstanden, aber ich immer noch nicht

: - (

Kannst du eventuell nochmal den richtigen Lösungsweg sagen? Ich verstehe es einfach nicht. Oder zumindest was an deiner vorherigen Lösung weg muss und was nicht..

Und was muss man sich jetzt am Graphen angucken??

ledum aktiv_icon

19:49 Uhr, 12.02.2015

Hallo emiliiie
deine Antwort ist nicht sehr nett, auch wenn dir Eddi nicht geholfen hat!
1. Hast du eine Skizze?
Parabel mit Tangente? Im Punkt

(a, a^{2})

die Tangente schneidet die negative

y

Achse. bei

y = - a^{2}

(musst du begründen)
ziehe von dem Punkt

P

die waagerechte Verbindung zur

y -

Achse.
jetzt hast du ein Dreieck, dessen Fläche du ausrechnen kannst. davon abziehen musst du die Fläche oberhalb der Parabel bis zu der Geraden

y = f (a),

wie du die rauskriegst siehst du wenn du noch die senkrechte von

P

auf die

x -

Achse einzeichnest.
also 3 Schritte_
1. Tangente aufstellen,

x = 0

setzen, Schnittpunkt mit y-Achs bestimmen#
2. Fläche des Dreiecks bestimmen:

A_{1}

3. Fäache in der Parabel aus Rechteck- Integral berechnen:

A_{2}

das Ergebnis

A_{1} - A_{2}

sollte die Behauptung ergeben.
Gruß ledum

Edddi aktiv_icon

19:54 Uhr, 12.02.2015

. .

. schau dir bitte die Grafik im Anhang an. Dies erklärt dann auch meine Texte.

Es ist also lediglich die Fläche unter dem Graphen von 0 bis a zu berechnen und diese ist nun mal:

A = \int_{0}^{a} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |_{0}^{a} = (\frac{a^{3}}{3}) - (\frac{0^{3}}{3}) = \frac{a^{3}}{3}

;-)

emiliiie aktiv_icon

21:03 Uhr, 12.02.2015

Aber das ist doch viel zu wenig..?
Weil du hast ja erst was mit obere und untere fläche und so gesagt, aber am ende hast du nur eine reihe aufgeschrieben also das integral von 0 bis a und sonst nichts, Aber das ist doch viel zu wenig für diese aufgabe ; muss ja eigentlich komplizierter sein und nicht so einfach .. da bin ich mir sicher..

@ledum(?): Ich meine nichts was ich hier schreibe böse, wieso sollte ich auch? Ich meine ich freue mich über jede antwort und frag dann halt nochmal nach und anscheinend magst du meine art von weiter nachfragen nicht? aber naja..

Danke an euch für eure antworten aber kannst du mir immer noch weiterhelfen, bin jetzt komplett verwirrt, aber meega

xxxxFabi aktiv_icon

21:22 Uhr, 12.02.2015

Woher weißt du das

k

,Dreieck =

o

.Dreieck?

Mathe45

21:38 Uhr, 12.02.2015

Nachdem die Tangente die x-Achse an der Stelle

x = \frac{a}{2}

schneidet, ist das "obere" Dreieck flächengleich dem "unteren" Dreieck.
Die angesprochene Fläche ist daher nur

\int_{0}^{a} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{3}

emiliiie aktiv_icon

21:55 Uhr, 12.02.2015

Ich habe immer noch nicht verstanden, was genau das besondere jetzt dabei ist, dass das obere dreieck dem unteren entspricht. Man darf doch nicht einfach die grenzen von 0 bis a nehmen meiner meinung nach (meine meinung ist falsch, ich weiß, aber ich brauche eine detailliertere begründung?:-()

Mathe45

22:04 Uhr, 12.02.2015

Wegen der vielen Formulierungsfehler in deinem Text nehme ich an, dass Deutsch nicht deine Muttersprache ist. Ich versuche daher eine einfache Erklärung.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ( sowohl des "oberen" als auch des "unteren" ) ist

A = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a^{2} = \frac{a^{2}}{4}

( halbes Produkt der beiden Katheten )
Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus

\int_{0}^{a} x^{2} d x - A (

oberes Dreieck

) + A (

unteres Dreieck

) = \int_{0}^{a} x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} |_{0}^{a} = \frac{a^{3}}{3}

Also ist die Behauptung in der Angabe bewiesen.

Edddi aktiv_icon

06:08 Uhr, 13.02.2015

...du kannst natürlich auch erst die Tangentenfunktion für a bestimmmen. Diese sei

T_{a} (x)

. Nun müsstest du dessen Integral abziehen. Die Fläche wäre dann:

A = \int_{0}^{a} x^{2} d x - \int_{0}^{a} T_{a} (x) d x

Dabei wird sich aber herausstellen, dass

\int_{0}^{a} T_{a} (x) d x = 0

Damit wir aber die Bestimmung der Tangentenfunktion umgehen können, haben wir versucht, geometrisch zu zeigen, dass die Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse identisch sind. So verschwindet dann nämlich das best. Integral.

:-)

emiliiie aktiv_icon

20:50 Uhr, 15.02.2015

Doch wie berechnet man die Tangentenfunktion?
Wie stellt man seine Gleichung auf, kannst du mir dabei helfen?

ledum aktiv_icon

01:11 Uhr, 16.02.2015

Hallo
1. wenn mich jemand, dem ich helfen will mit "Hä" begrüßt stört mich das.
2. Tangente: berechne die Steigung in

a f' (a),

du kennst die Gleichung einer Geraden y=mx+b

m

kennst du das ist

f' (a)

einen Punkt der Geraden

a, a^{2}

kennst du auch den setz ein dann findes du

b

.
Wenn du aber eine Skizze machst und die Steigung richtig anträgst, kannst du

b

auch aus der Skizze ablesen.
Gruß ledum

emiliiie aktiv_icon

17:19 Uhr, 18.02.2015

@Mathe45:

Was soll das denn heißen?! Nur weil ich nicht verstehe, was du meintest und weil ich Formulierungfehler in meinen Texten habe, behauptest du Deutsch wäre nicht meine Muttersprache?! Also das finde ich wirklich unverschämt, findest du nicht?
Deine Behauptung stimmt erstens überhaupt nicht (Da siehst du mal, dass auch Deutsche fehler machen können) und zweitens was wäre wenn? Du klingst meiner meinung nach echt rassistisch und ich sehe keine wirklich überragenden fehler in meinen texten.

@Edddi:

Vielen Dank für deine stetige Hilfe bei dieser Antwort! Habe es jetzt größtenteils verstanden..

@ledum:

Auch herzlichen Dank an dich!

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