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Wie viele Sattelpunkte hat das Polynom
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, polynom, Sattelpunkt
 
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Guten Morgen allerseits, bei mir stellt sich folgende Frage :-) "Wie viele Sattelpunkt kann ein Polynom der Form haben?" Bin dankbar um jede Hilfe, leider hatte ich noch keinen guten Ansatz.. Liebe Grüsse :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Einführung Funktionen Extrema / Terrassenpunkte Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung |
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Hallo Welchen Polynomgrad liest du denn aus der Angabe? Welche (wie viele) Bedingungen hat denn ein Sattelpunkt? Mach mal eine Skizze, wie viele Sattelpunkte bekommst du für eine Polynomfunktion dieser Art hin? |
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Also das Polynom ist ja vom 3. grad und die Bedingung für den Sattelpunkt lautet, dass die 3. Ableitung nicht gleich 0 sein darf. Mich verwirrt einfach, dass das Polynom von zwei Unbekannten abhängt und nicht, wie noch aus der Schulzeit, von nur einer. Und noch zur letzten Frage von dir, man bekommt nur einen Sattelpunkt beim Polynom 3. Grades hin.. Vielen Dank für die rasche Antwort LG. |
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Ich bekenne: Das mit der 3. Ableitung wäre mir neu... :-) Aber - Was gilt denn für die zweite Ableitung? Was gilt denn für die erste Ableitung? |
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Du befindest dich in . Der Graph deiner Funktion sieht ( für einfache Konstante ) etwa so aus wie im Bild. Um die kritischen Punkte ( Maxima, Minima, Sattelpunkte ) zu erhalten bilde die Partiellen Ableitungen und setze sie . Weiter gehts dann mit der Hesse Matrix. Ist die Matrix an einer kritischen Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion. Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion. Lässt sich auch mit allgemeinen Koeffizienten durchführen und interpretieren, ist aber sehr rechenintensiv.  |
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Zur Ergänzung: Ich habe auch mal eben ein wenig recherchiert. Ich bin . auf folgenden Link gestoßen: www.gut-erklaert.de/mathematik/sattelpunkt-berechnen-bedingungen.html#:~:text=Dieser%20Punkt%20oder%20diese%20Stelle,einer%20Funktion%20sein%20Krümmungsverhalten%20ändert. dort steht tatsächlich auch so eine Forderung, die dritte Ableitung dürfe nicht verschwinden ('Null' werden). Was im Internet steht, wird wohl wahr sein.... :-) Dann habe ich mir aber eine Skizze der Funktion vor Augen geführt, und klar gemacht, da kann man wahrscheinlich jetzt eine stundenlange Diskussion beginnen. Ich fürchte, ich bin gerade dabei, diese genau los-zu-treten. Um es kurz zu machen: Wir werden im Zweifelsfall sehr genau definieren, einschränken und erklären müssen, was wir unter einem "Sattelpunkt" verstehen wollen. Um es aber einfach zu halten, schlage ich vor, dass wir unter "Sattelpunkt" einfach eine Stelle vereinbaren wollen, wo für die erste Ableitung eine Bedingung herrscht, die du noch nennen willst... wo für die zweite Ableitung eine Bedingung herrscht, die du noch nennen willst... |
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Die partiellen Ableitungen liefern die Gleichungen Es kann also höchstens nur 4 kritische Punkte geben. Ob diese auch Sattelpunkte sein können, müsste man durchrechnen und interpretieren. |
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Erstmals vielen Dank für eure Antworten! Ich habe nun auch die partiellen Ableitungen ausgerechnet und die Hesse-Matrix aufgestellt. Danach habe ich die Determinante ausgerechnet und: 36xy+12xb+12ay+4ab erhalten. Wie kann ich nun überprüfen ob die Funktion indifinit ist? da es ja Koeffizienten sind gibt es ja mehrere Möglichkeiten.... Vielen Dank nochmals |
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Die und Werte der kritischen Punkte kann man ja noch leicht bestimmen. Einsetzen . und ab jetzt wird es monströs. Aber vielleicht gibt noch einen anderen analytischen Beweis ohne Berechnung, den ich nicht kenne. ( durch Einsetzen konkreter Koeffizienten habe ich . 3 Sattelpunkte gefunden. ) Ich glaube, hier sind unsere "Supermathematiker" gefragt. |
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Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: Was gilt denn für die zweite Ableitung? Was gilt denn für die erste Ableitung? |
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Hallo, @Respon: Könntest du mir deine Parameterwahl für 3 Sattelpunkte mitteilen? Ich komme immer nur auf 4 kritische Punkte, von denen max. 2 Sattelpunkte sind, also eine indefinite Hesse-Matrix liefern. Gruß ermanus |
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Alles zurück - es sind doch nur Was auch der Logik entspricht Sorry. |
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Du hast Wolfram ein falsches Futter gegeben, nämlich saddle points x^3+y^3-2*x^2-2*y^2+5*x5*y, es hätte aber saddle points x^3+y^3-2*x^2-2*y^2+5*x+5*y heißen müssen. Ah! Du hast es selbst entdeckt. |
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Mit ergeben sich für und die Lösungen und . Das ergibt die max. 4 kritischen Punkte. Für die Hesse.Matrix gilt , also ist also Sattelpunkt, wenn ist. Dafür gibt es 2 Möglichkeiten. Gruß ermanus Korrigiert ! |
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super, konnte dem ganzen sehr gut folgen! Vielen herzlichen Dank allen für die Hilfe :-D) Noch einen schönen Montag allerseits :-) |
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Wenn ich noch auflösen / ergänzen dürfte: Wer systematisch arbeitete, der würde erkennen: Für einen Sattelpunkt muss die erste Ableitung verschwinden. Also: df/dx= df/dy= muss die zweite Ableitung verschwinden. Also: Aus den letzten beiden Gleichungen erkennt man leicht die Stelle, die für einen Sattelpunkt in Frage kommt: Eingesetzt in die ersten beiden Gleichungen erfasst man die zugehörigen Koeffizienten: edit, Korrektur] Zusammenfassend: An der Stelle befindet sich der einzig mögliche Sattelpunkt, falls andernfalls, gibt es keinen Sattelpunkt. |
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Hallo Nachteule, keine Ahnung, was du da machst. Ich habe als Beispiel für die beiden Sattelpunktstellen und . Gruß ermanus |
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Hallo Ermanus keine Ahnung, was du da machst. Ich errechne aus deinem Zahlenbeispiel an der Stelle die Ableitungen df/dx= 6 df/dy= 6 |
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Oh, sorry, ich habe einen Dreher in den Radikanden gemacht. Es muss richtig und heißen. Mittlerweile habe ich den Fehler korrigiert. Daher biete ich jetzt für die beiden Sattelpunktstellen und an. Siehe www.wolframalpha.com/input/?i=saddle+points+x%5E3%2By%5E3%2B2*x%5E2%2B2*y%5E2%2B1*x%2B1*y |
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Für dein erneutes Zahlenbeispiel errechne ich an der Stelle die ersten Ableitungen korrekt die zweiten Ableitungen |
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Ich habe den Eindruck, dass du für Funktionen zweier Variablen nicht weißt, was ein Sattelpunkt ist. Das hätte dir aber doch auffallen müssen, dass wir hier von der Hesse-Matrix und deren Definitheit sprechen ... |
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Durchaus möglich, dass wir aneinander vorbei reden. Deshalb stelle ich hier ja auch zum wiederholten Male die Frage zur Diskussion, welche Bedingungen wir denn für den Begriff "Sattelpunkt" zugrunde legen wollen. Mein bestes Wissen gilt tatsächlich wie mehrmals erfragt und erklärt, dass die ersten Ableitungen verschwinden müssen, die zweiten Ableitungen verschwinden müssen. |
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Bei einer Variablen ist ein Sattelpunkt ein Wendepunkt mit einer wagrechten Tangente. Bei zwei Variablen aber ein Punkt, dessen Umgebung sattelförmig ist, also wie ein Reitsattel oder ein Gebirgssattel: in einem solchen Punkt geht es beim Vorwärts- oder Rückwärtslaufen in einer Richtung immer bergauf, während es eine dazu nicht kolineare Richtug gibt, längs derer es beim Vorwärts- und Rückwärtslaufen immer bergab geht. Das bedeutet mathematisch, dass die Hessematrix in diesem Punkt indefinit ist. |
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Ja, ich mache mich gerade parallel auch ein wenig schlauer, . die Definition von Wikipedia. Du hast recht, dort ist im mehrdimensionalen Fall tatsächlich davon die Rede, dass eine Krümmung möglich ist. Dann ziehe ich meine Einwände und Schlussfolgerung zu nur einem Sattelpunkt gerne zurück, und bitte um Entschuldigung, falls ich unverhältnismäßig Verwirrung gestiftet haben sollte. |
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Alles klar! Man kann ja auch nicht alles wissen ;-) |
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