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Wo ändert sich die Funktion am stärksten?

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, Differenzialrechnung

anonymous

13:30 Uhr, 29.07.2015

Hallo alle zusammen,
hier die Aufgabe:

,,Gegeben sei die Funktion

f

mit

f (x) = - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2}

Berechne, wo sich die Funktion am stärksten ändert."

Wie würdet ihr hier vorgehen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

funke_61 aktiv_icon

13:45 Uhr, 29.07.2015

Hallo,
die "Änderung einer Funktion" entspricht der "Steigung der Funktion" (also der ersten Ableitung einer Funktion)
Um die "stärkste Änderung" zu bestimmen solltest Du also die Extremwerte der ersten Ableitung suchen . . .
;-)

Roman-22

15:01 Uhr, 29.07.2015

Ist der Bereich, in dem die Funktion betrachtet werden soll irgendwie beschränkt oder soll die Funktion über ganz

ℝ

betrachtet werden.
In letzterem Fall kann keine derartige Stelle angegeben werden, da ja

lim_{x \to \pm \infty} f' (x) = - \infty

.
Bestenfalls lässt sich dann ein (hier sogar globales) Maximum von

f' (x)

im Wendepunkt von

f (x)

angeben.

Allerdings ist durch die Formulierung "wo sich die Funktion am stärksten ändert" ja der Betrag der ersten Ableitung zu betrachten und da gibt es eben keine Lösung.

R

sonaa aktiv_icon

15:03 Uhr, 29.07.2015

Sind dann die berechneten Extrempunkte der ersten Ableitung einfach schon die Lösung?

edit: hatte das von Roman noch nicht gelesen - alles klar!

anonymous

15:16 Uhr, 29.07.2015

Also die Funktion

f

ist nicht beschränkt.

1 .)

Der Wendepunkt von

f (x)

hat die x-Koordinate

x_{W} = 8 \frac{1}{3}

(habe ich berechnet). Was mich wundert, ist, warum die erste Ableitung

f'

an der Stelle

x_{W} = 8 \frac{1}{3}

ein Maximum hat.

2 .)

Jetzt, wo die Funktion

f

über ganz

ℝ

geht, muss ich den Wendepunkt überhaupt ausrechnen?

funke_61 aktiv_icon

15:33 Uhr, 29.07.2015

"1.) Der Wendepunkt von

f (x)

hat die x-Koordinate

x_{W} = 8 \frac{1}{3}

(habe ich berechnet). Was mich wundert, ist, warum die erste Ableitung f′ an der Stelle

x_{W} = 8 \frac{1}{3}

ein Maximum hat."

An einem Wendepunkt liegt in der Regel ein Extremwert der ersten Ableitung vor (es sei denn, er ist gleichzeitig ein Terrassenpunkt).
Stell Dir die Tangente an diese Kurve vor.
Im Wendepunkt ist sie (lokal) "am Steilsten".
Natürlich liegen hier für

x \to \pm \infty

noch "steilere" Tangenten an diese Kurve vor. . .

"2.) Jetzt, wo die Funktion

f

über ganz

ℝ

geht, muss ich den Wendepunkt überhaupt ausrechnen?"

Ja, denn es gibt ein "lokales Maximum" der stärksten Änderung der Funktion und zusätzlich musst Du noch etwas über die "Stärke der Änderung" der Funktion für

x \to \pm \infty

aussagen . . .

anonymous

16:17 Uhr, 29.07.2015

funke_61, du hast geschrieben:
,,Ja, denn es gibt ein "lokales Maximum" der stärksten Änderung der Funktion und zusätzlich musst Du noch etwas über die "Stärke der Änderung" der Funktion für x→±∞ aussagen . . . "

Aber das Maximum ist tatsächlich global (siehe Bild im Anhang). Meinst du den Betrag des Maximums? Denn der Betrag ist dann tatsächlich ein ,,lokales" Maximum.

funke_61 aktiv_icon

16:24 Uhr, 29.07.2015

sorry,
ja ich meine natürlich den Betrag des Maximums - denn
"Berechne, wo sich die Funktion am stärksten ändert."
wurde ganz oben gesucht.
Bitte entschuldige meine Nachlässigkeit
;-)

abakus

16:47 Uhr, 29.07.2015

Für alle Helfer zur Vorgeschichte der Aufgabe:

http//www.onlinemathe.de/forum/Aufgabe-zur-Differenzialrechnung

anonymous

16:55 Uhr, 29.07.2015

Kein Problem! :-)

1 .)

Also könnte ich die Frage dann so beantworten?

Antwort:

Erst einmal berechne ich den Wendepunkt.

. . .

\Rightarrow x_{w} = 8 \frac{1}{3}

Die Änderung (=Steigung) der Funktion bei

x_{w} = 8 \frac{1}{3}

ist allerdings - vom Betrag her gesehen - ein lokales Maximum.

Zusätzlich ist aber folgendes zu beachten:

lim_{x \to \pm \infty} (f) = - \infty

Oder in Worten ausgedrückt: Je mehr

x

gegen

\pm

unendlich geht, umso größer wird der Betrag der Steigung.

\Rightarrow

Es kann keine ,,globale

x -

Koordinate" angegeben werden, für die

f'

ein globales Maximum - vom Betrag her gesehen - hat.

2 .)

Aber das alles könnte ich ja nicht ohne ein Programm

(z . B .)

GeoGebra wissen, oder doch? Also ich meine das mit dem lokalen und globalen Maximum.

ledum aktiv_icon

18:31 Uhr, 29.07.2015

Hallo
dass da ein lokales Max der ersten Ableitung ist, ist mit 3te Ableitung<0 zu sehen, dass f"" gegen - unendlch geht auch also alles ohne die Kurve zu "sehen".
Gruss ledum

anonymous

19:14 Uhr, 29.07.2015

ledum, tut mir leid, verstehen tue ich leider nicht, was du geschrieben hast.

-Wolfgang-

20:54 Uhr, 29.07.2015

Roman hat eindeutig recht,

wenn die Funktion auf ganz IR definiert ist, gibt es keine Stelle

x

mit maximaler Änderung der Funktion!

anonymous

08:56 Uhr, 30.07.2015

Also meine zwei Fragen von oben bleiben. :-)

1 .)

Also könnte ich die Frage dann so beantworten?

Antwort:

Erst einmal berechne ich den Wendepunkt.

. . . ⇒x_w

= 8 \frac{1}{3}

Die Änderung (=Steigung) der Funktion bei xw=813 ist allerdings - vom Betrag her gesehen - ein lokales Maximum.

Zusätzlich ist aber folgendes zu beachten:

lim_{x \to \pm \infty} (f') = - \infty

Oder in Worten ausgedrückt: Je mehr

x

gegen ± unendlich geht, umso größer wird der Betrag der Steigung.

\Rightarrow

Es kann keine ,,globale x− Koordinate" angegeben werden, für die

f'

ein globales Maximum - vom Betrag her gesehen - hat.

2 .)

Aber das alles könnte ich ja nicht ohne ein Programm

(z . B .)

GeoGebra wissen, oder doch? Also ich meine das mit dem lokalen und globalen Maximum.

Respon

09:20 Uhr, 30.07.2015

f (x) = - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2}

( diesmal ohne Eischränkung )
Kann man das ohne Geogebra

. .

.
Natürlich kann man das.

f' (x) = - \frac{3}{250} \cdot x^{2} + \frac{1}{5} \cdot x

f' (x) = 0 \Rightarrow x = 0

oder

x \approx 16,67

f'' (x) = - \frac{3}{125} \cdot x + \frac{1}{5}

\Rightarrow f'' (0) = \frac{1}{5} > 0 \Rightarrow

Der Graph der Funktion hat an der Stelle

x = 0

ein lokales Minimum.

\Rightarrow f'' (16,67) \approx - 0,2 < 0 \Rightarrow

Der Graph der Funktion hat an der Stelle

x = 16,67

ein lokales Maximum.

lim_{x \to + \infty} - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2} = - \infty

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{250} \cdot x^{3} + \frac{1}{10} \cdot x^{2} = + \infty

\Rightarrow

Der Graph der Funktion hat weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum

Änderungsrate

f'' (x) = - \frac{3}{125} \cdot x + \frac{1}{5} = 0 \Rightarrow x \approx 8 \frac{1}{3} \Rightarrow

Die Änderungsrate besitzt an der Stelle

x = 8 \frac{1}{3}

ein lokales Maximum ( hier kein Betrag notwendig )

lim_{x \to + \infty} - \frac{3}{250} \cdot x^{2} + \frac{1}{5} \cdot x = - \infty

lim_{x \to - \infty} - \frac{3}{250} \cdot x^{2} + \frac{1}{5} \cdot x = - \infty

Die Änderungsrate besitzt weder ein globales Maximum noch ein globales Minimum.
( Ohne grafische Anschauung )

anonymous

09:56 Uhr, 30.07.2015

Respon, GENIAL! Jetzt verstehe ich es! Danke.

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