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Würfel, Kugel, Verhältnis, Volumen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen, Kugel, Reihen, Verhältnis, Volumen, Würfel
 
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Einem Würfel wird eine Kugel eingeschrieben. Zu den acht Ecken hin werden immer wieder einander berührende Kugeln eingeschrieben. In welchem Verhältnis steht die Summe aller Kugelinhalte zum Volumen des Würfels? folgenden Ansatz habe ich: r1 = a/2 d1 = a r2 = a/12 d2 = a/6 r3 = a/72 V = a^3 V = 4/3 *a^3/8 * pi + 8*4/3 pi * a^3/12^3 *((1/6^3)^n-1)/(1/6^3-1) für n = 3a/5 Wenn ich das System löse komme ich auf ein negatives Verhältnis. Das Ergebnis soll aber 1 : 0,605 Bitte um Hilfe! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kugel (Mathematischer Grundbegriff) Kegel (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Flächenmessung Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Volumen einer Pyramide Flächenmessung Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder Raummessung Volumen einer Pyramide |
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Hallo mathe0 da du dich bei meinem letzten Schmarren so geduldig verhalten hast, und dich zum Schluss noch bedankt hast, habe ich mich auch mal ein Bisschen mit diesem Problem befasst. Mir ist nicht klar, wie du auf das Verhältnis 1:12 bei den Radien kommst. Das korrekte Verhältnis herauszufinden, ist allerdings die grösste Knacknuss in diesem Problem. Jedenfalls ist das Verhältnis fortschreitender Kugelradien gleich wie das Verhältnis fortschreitender Pyramidenhöhen. Gemeint sind die Pyramiden, die in den Ecken des Würfels entstehen. Also ans Werk. Die Kantenlänge des Würfels nehme ich mit 1 an, dann ist das Volumen des Würfels ebenfalls 1, und wir brauchen nur das Volumen aller Kugeln zu berechnen, und schon haben wir damit das gesuchte Verhältnis gefunden. Die grosse Kugel in der Mitte habe den Radius r0, der erste Radius zur Ecke hin dann r1, dann r2 und so weiter. r0 = 1/2, das halten wir mal fest. Die Diagonale des Würfels ist Wurzel(3). Wenn wir uns nun beim Würfel drei in einer Ecke zusammenlaufenden Flächen erweitert denken, entsteht so ein Riesenwürfel, mit der Kugel K0 in einer Ecke (die grosse Kugel mit Radius r0) Die Aufgabe besteht, die Höhe der Pyramide zu bestimmen, wenn ich senkrecht zur Würfeldiagonale abschneide, so dass die Kugel diese Schnittebene berührt. Das ist aber einfach: es ist die ganze Würfeldiagonale abzüglich des Kugeloberflächenabstandes zu einer Würfelecke. Dieser Abstand ist gleich der halben Würfeldiagonalen minus Kugelradius r0, also Wurzel(3) - (Wurzel(3)/2-1/2) Somit ist h0 = (Wurzel(3)+1)/2. Die nächstkleinere Pyramide hat aber genau die Höhe des Kugeloberflächenabstandes zu einer Würfelecke, also h1 = (Wurzel(3)-1)/2. Damit ergibt sich das Höhenverhältinis zweier aufeinanderfolgender Pyramiden h1/h0 = (Wurzel(3)-1)/(Wurzel(3)+1) Das ist auch das Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Kugelradien. Es gilt also: rn+1 = (Wurzel(3)-1)/(Wurzel(3)+1) * rn Der erste kleine Kugelradius ist also: r1 = 1/2 * (Wurzel(3)-1)/(Wurzel(3)+1) Nun kommt wieder die gleiche Überlegung wie bei der vorherigen Aufgabe: die Kugelradien bilden eine geometrische Reihe, wobei q' unser oben errechnetes Verhältnis der Kugelradien ist. Für die Volumenberechnung ist dieses q' aber hoch 3 zu nehmen (das ist dann mein q in untenstehender Gleichung). Die Kugeln in einer Ecke sind also r13* 4/3 * pi * (1 + q + q2 + q3 + ...) Die Summe in der Klammer ist wieder 1/(1-q), also bei uns: (ich schreibe in Zukunft statt Wurzel(3) einfach w3) (w3-1)3/((w3+1)3-(w3-1)3) = nach etwas Rechenarbeit (w3-1)3/20 Da wir 8 Würfelecken haben, ist dann dieses Volumen 8 mal zu nehmen, und für das Gesamtvolumen aller Kugeln endlich noch die Kugel mit dem Radius 1/2 hinzuzuaddieren. Somit: Kugelvolumen = 8 * r13* 4/3 * pi * (w3-1)3/20 + 4/3 * pi * 1/8 Wieder etwas rechnen, rechnen, rechnen, auch r1 richtig einsetzen (ist oben ja berechnet worden), das ich dir überlasse, ergibt: Kugelvolumen = pi/10 * (4*w3-5) Der auf mehrere Stellen ausgerechnete Wert hiervon ist tatsächlich, wie von dir näherungsweise angegeben: 0,60576291028616480148157221753084.... Alles klar? Gruss Paul |
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hi paulus! hast mir echt schon weitergeholfen mit deiner erklärung! nur noch eine frage! du hast ja die klammer als geometrische reihe dargestellt und danach rechnest du . bisher noch alles klar!! wie kommst du von dem auf wie formst du das verhältnis zwischen den radien so um dass du eben das herausbekommst? danke lg |
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