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Würfel Statistik

Universität / Fachhochschule

Tags: Würfel

Ryuichi aktiv_icon

15:13 Uhr, 15.01.2011

Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Wurf mit drei Würfeln lauter verschiedene Augenzahlen ?

Die Wahrscheimlichkeit ist ja so aufgebaut

WK =(Günstige Fälle)/(Anzahl der Fälle)

Anzahl aller Fälle mit 3 Würfeln ist ja

: 6^{3} = 216

Fälle

Mein Problem : sind die günstigen Fälle herauszufinden

Ergebniss der Aufgabe

: \frac{5}{9}

bzw.

\frac{120}{216}

Ich dachte vielleicht man nimmt die Formel der Kombinatorik

\frac{n!}{(n - k!) \cdot k!}

(ohne Wiederholung)

n =

Anzahl

k =

Paare

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

AndreasBL aktiv_icon

15:58 Uhr, 15.01.2011

Naja, willst du die Würfe als Variation oder als Kombination betrachten?
Beides zusammen, so wie du es machst, ist meiner Meinung nach sinnlos.

Bei der Variation spielt die Reihenfolge der Elemente noch eine Rolle.

Das würde bedeuten, dass man erkennen müsste, in welcher Reihenfolge etwa der Wurf

(3; 5; 6)

gefallen ist. Macht man sowas? Nee :-)

Insofern ist Dein Ansatz zur Berechnung der Gesamtanzahl aller möglichen Würfe falsch.

Du hast es also mit einer Kombination von je

k

Elementen aus

n

verschiedenen Elementen mit Wiederholung der Elemente zu tun.

= \frac{(n + k - 1)!}{k! \cdot (n - 1)!}

Das ergibt die Anzahl der möglichen Würfe.

Beim Ansatz der günstigen Würfe aber warst du bereits korrekt.

Ryuichi aktiv_icon

16:07 Uhr, 15.01.2011

www2.hs-esslingen.de~koch/mathe/statistik_blatt3_l.pdf

In der 1.

b)

ist die Lösung aber ganz anderst berechent oO

Was würde für parameter

n

in Frage kommen als Zahl ?

18

AndreasBL aktiv_icon

16:21 Uhr, 15.01.2011

Im Fall der Lösung wird davon ausgegangen, dass es sich um eine Variation handelt.

In dem Fall ist Gesamtheit aller Würfe:

= n^{k}

Und die Anzahl der möglichen Würfe mit unterschiedlichen Augen entspricht einer Variation zu je

k

Elementen aus

n

verschiedenen Elementen OHNE Wiederholung der Elemente.

= \frac{n!}{(n - k)!}

Und dann kommt man auch auf die angegebene Wahrscheinlichkeit von

\frac{5}{9}

Rechnet man mit der Kombination, kommt man auf

P = 0,535

AndreasBL aktiv_icon

16:25 Uhr, 15.01.2011

OK, es ist eine Variation, mein Denkfehler leutete mir gerade ein.

Es mag im Ergebnis egal sein, wenn beispielsweise eine

(1; 1; 2)

gewürfelt wurde, in welcher Reihenfolge dies geschah.

Aber es gibt eben mehrere Möglichkeiten zu diesem Ergebnis:

112, 121, 211

Also ist dieses Ergebnis 3mal wahrscheinlicher als beispielsweise

111

Asche auf mein Haupt :-)

Ryuichi aktiv_icon

17:01 Uhr, 15.01.2011

Danke für deine Antwort

jedoch habe ich ein Problem:

Ich kann nicht unterscheiden worin sich die Formeln unterscheiden bzw. was gemeint ist mit Reinfolge.

Wie haben 4 Formeln bekommen jedoch weiss ich nicht welches wo und wieso zum Einsatz kommt.

\frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

(ohne Wiederholung)

n = n + k - 1

\frac{n!}{(n - k)! \cdot k}

(mit Wiederholung)

V (n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}

V (n, k) = n^{k}

wo benützt man was und was sind die merkmale ??

Wäre dir sehr dankbar wenn du mir hilfst

\land

AndreasBL aktiv_icon

17:19 Uhr, 15.01.2011

Ja, wie verdeutlich man sich am besten den Unterschied von Variation und Kombination?

Das beste Beispiel für die Variation ist unser Zahlensystem.
Wieviele verschiedene dreistellige Zahlen könnte man aus

10

Ziffern erstellen, wenn Wiederholungen möglich sind und auch die 0 an erster Stelle stehen kann?

n = 10

k = 3

V = n^{k}

V = 10^{3} = 1000

Dabei wird eben auch die Reihenfolge der Elemente unterschieden.
Beispielsweise zwischen

123, 132, 213, 231, 312

und

321

.
Es sind immer wieder die gleichen drei Elemente, aber stets in anderer Reihenfolge.

Mit den Beispielen

1, 2

und 2 ergäbe sich:

122, 212, 221

Das ist übrigens ein Beispiel mit Wiederholungen.

Sollen nun Wiederholungen ausgeschlossen werden, dann kommt folgende Berechnung ins Spiel:

V = \frac{n!}{(n - k)!}

V = \frac{10!}{7!}

V = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Bei der Kombinationen dagegen spielt die Reihenfolge der gezogenen Elemente keine Rolle. Hier werden dann die beiden anderen Formeln herangezogen, die du noch aufgeführt hattest.

Das beste Beispiel dafür ist das Lotto.
Du tippst ja nur, welche 6 Zahlen aus gegebenen

49

gezogen werden. Aber die Reihenfolge ist da völlig unwichtig. Müsste man die auch noch tippen, würde keiner mehr gewinnen ;-)

Also ob nun die Zahlen

(3; 13; 20; 25; 34; 39)

in genau dieser Reihenfolge oder sonst wie gezogen wurden, ist unwichtig.

Speziell beim Lotto handelt es sich um eine Kombination OHNE Wiederholung, denn eine gezogene Zahl kann nicht nochmal gezogen werden.

Ich hoffe, ich konnte Klarheit verschaffen

Ryuichi aktiv_icon

18:07 Uhr, 15.01.2011

Wow, das hat mir sehr gut geholfen

\land

Mhh nur die Sache mit der Variation ohne Wiederholung verstehe ich nicht ganz.
Kannst du da das vielleicht noch mit einem simplen Bsp. erklären ?

\land

Danke

anonymous

18:15 Uhr, 16.01.2011

Versuch es erstmal "auf Deutsch" zu verstehen:

Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einem dreimaligen Würfelwurf drei verschiedene Zahlen zu erhalten? Lösung:

Der erste Wurf kann ja beliebig sein, es gibt 6 Möglichkeiten.
Der zweite Wurf darf die Zahl aus dem ersten Wuf nicht haben, also nurnoch 5 Möglichkeiten.
Der dritte Wurf hat dann nurnoch 4 Möglichkeiten, weil zwei Zahlen nicht mehr gewürfelt werden dürfen.

Insgesamt gibt es also

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

Möglichkeiten.

Wie können wir das jetzt als Formel aufschreiben?

Dazu sei

k

die Anzahl der Versuche und

n

die Anzahl der Möglichkeiten in einem Versuch. Bei uns ist

k = 3

und

n = 6

.

Man sieht, dass

6 \cdot 5 \cdot 4

etwas mit Fakultät zu tun hat, nähmen wir aber einfach

n!,

so erhielten wir ja

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

. Wir müssen alle "falschen" Werte wieder herauskürzen. In unserem Fall benötigen wir nur die ersten drei Würfe, also muss

3 \cdot 2 \cdot 1

herausgekürzt werden, also:

\frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1} = 6 \cdot 5 \cdot 4

. In einer Formel erhälst du also:

\frac{n!}{(n - k)!},

wobei

(n - k)

sozusagen "der Rest" ist.

Falls die Reihenfolge der Ergebnisse egal ist (Lotto), so muss man weiter alle Ergebnisse herauskürzen, die "doppelt" sind. Beim Würfelbeispiel wären etwa

123,132,213,231,312,321

die gleichen Ergebnisse. Das sind 6 Möglichkeiten, die immer als eine Möglichkeit angesehen werden muss. Da das für alle Würfe gilt, müssen wir unser Endergebnis also noch durch die Anzahl der Möglichkeiten teilen, drei Zahlen auf drei Positionen anzuordnen. Das sind

3!

Möglichkeiten, also

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6,

wie man an meinem Beispiel ja abzählen kann. In der Formel ist das dann

k!,

also berechnet man hier die Gesamtanzahl der Möglichkeiten durch:

\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

. Dafür gibt's übrigens die Schreibweis

(n

über

k),

wobei ich - wie man sieht - nicht weiß, wie man das hier eingibt!

; D

5000

zeichen voll? Naja, dann unten weiter...

anonymous

18:33 Uhr, 16.01.2011

Wie berechnet man jetzt die gefragte Wahrscheinlichkeit?

Es kommt darauf an, wie du die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten berechnest! Dazu gibt es zwei Möglichkeiten (wobei die berechnete WSK natürlich gleich ist):

1. Du berechnest als Gesamtanzahl aller Möglichkeiten

6^{3} = 216

Möglichkeiten. Nun sind da natürlich auch alle Möglichkeiten drin, die (beim echten Würfelwurf) gleich wären, wie eben

321,312, . .

. . Also musst du die günstigen Ergebnisse genauso berechnen.

Demnach gibt es

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

Möglichkeiten drei verschiedene Zahlen zu erhalten. Die WSK ist:

\frac{120}{216} = \frac{5}{9}

2. du fasst bereit bei der Gesamtanzahl aller Möglichkeiten alle gleichen Ergebnisse zusammen. Dann gibt es nurnoch

\frac{6^{4}}{3!} = 36

Würfelmöglichkeiten. Jetzt sind unter denen aber auch nur die Ergebnisse günstig, bei denen du tatsächlich drei verschiedene Zahlen gewürfelt hast (du siehst

123,132,231,213,312,321

ja bereits als eine Lösung an, nämlich die, mit den Zahlen 1 und 2 und

3)

. Dann gibt es

\frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = 20

Möglichkeiten. Die WSK ist also immernoch

\frac{20}{36} = \frac{5}{9}

.

Wie du rechnest ist egal, die WSK muss aber natürlich gleich sein! Wäre ja noch schöner, wenn dein Lottogewinn wahrscheinlicher ist, nur, weil du anders gerechnet hast!

; D

Grüße, IP

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