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Wurzel 2 irrational & Folgenstetigkeit beweisen

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Funktion, irrational, Stetigkeit, Wurzel

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11:27 Uhr, 29.05.2012

Hallo!
Habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe (siehe Anhang)

a)

Ich verstehe irgendwie nicht, was die

a)

mit der oben angegebenen Funktion zu tun hat. Beim Hinweis soll ich ja annehmen, dass

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

ist, was man ja dann zum Widerspruch führen müsste. Warum soll ich hier jetzt

p

gerade/ungerade überprüfen?

b)

Für alle

q_{n}

die gegen

q

konvergieren gilt also:

\exists n_{0} \in N : \forall n \geq n_{0} :

Betrag

(q_{n} - q) < ε :=

Betrag

(q - \sqrt{2})

Man soll es also (denke ich) mit dem Folgenkriterium beweisen, und die Abbildung konvergiert scheinbar gegen

\sqrt{2}

Allerdings habe ich hier jetzt leider keine Ahnung wie ich das lösen könnte.

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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11:34 Uhr, 29.05.2012

Annahme

\sqrt{2}

ist rational, dann gibt es

p, q \in ℤ,

sodass

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

außerdem soll

\frac{p}{q}

teilerfremd sein (_in gekürzter Form vorliegen).

Wenn du nun zeigen kannst, dass

p

und

q

gerade sind, dann lässt sich mindestens der Faktor 2 rauskürzen (den Schritt könnte man immer weiter führen) und das widerspricht doch dann der Annahme und entssprechend der Rationalität

\Rightarrow \sqrt{2}

irrational.

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11:44 Uhr, 29.05.2012

Ah, jetzt ist es schon einleuchtender.
Das

q

aus der Angabe hat ja die Form

\frac{r}{t}

bzw.

\frac{u}{v}, r, t

bzw.

u, v \in N,

teilerfremd.
Also müsste ja gelten:

\frac{r}{t} < \sqrt{2}

bzw.

\frac{p}{q} < \frac{u}{v}

Von

\frac{r}{t}

und

\frac{u}{v}

wissen wir jetzt, dass der Zähler ungerade und der Nenner gerade ist bzw. andersherum.

Ist das schon der richtige Weg? Mir fehlt nur die Idee, wie ich jetzt weitermachen muss.

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11:46 Uhr, 29.05.2012

Sicher gibt es es mehr als einen richtigen Weg aber probiere doch einmal

\to {()}^{2}

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11:59 Uhr, 29.05.2012

Meinst du quadrieren? Dann wird ja aus ungerade wieder ungerade und aus gerade wieder gerade.
Darf ich jetzt vorraussetzen, dass

{(\sqrt{2})}^{2} = \pm 2

ist? Das wäre ja ein Widerspruch, da

p

und

q

dann beide gerade wären.

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12:02 Uhr, 29.05.2012

Du kannst nicht voraussetzen, dass

{(\sqrt{2})}^{2} = \pm 2

ist.
Denn

{(\sqrt{2})}^{2}

ist ganz bestimmt

= 2

\sqrt{2} = \frac{p}{q} \Leftrightarrow 2 = {(\frac{p}{q})}^{2} \Leftrightarrow 2 = \frac{p^{2}}{q^{2}}

Benutze nun die zwei um zu zeigen, dass

p

oder

q

gerade ist, dannach musst du dir überlegen wie du noch zeigen kannst, dass deine andere Unbekannte auch gerade ist.

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12:22 Uhr, 29.05.2012

Ah, sorry. Bei der ganzen Unimathematik geht manchmal schon elementares im Kopf schief!

Was ich jetzt nicht verstehe, meine 2 kann ich ja darstellen als

\frac{2 x + 2}{x + 1},

also als Vielfaches von

\frac{2}{1}

.
Also muss bei

\frac{p}{q} p

immer gerade sein und

q

kann gerade/ungerade sein (falls

\frac{p}{q}

nicht teilerfremd ist).

Bzw. ich probiers nochmal:

\frac{2}{1} = \frac{p^{2}}{q^{2}} < \to 2 \cdot q^{2} = p^{2}

Jetzt ist es egal ob

q

gerade oder ungerade ist; die linke Seite ist immer gerade. Und da das quadrieren an gerade/ungerade nichts ändert muss

p

auch gerade sein.
Andersherum folgt ja

2 = \frac{p^{2}}{q^{2}} < \to 2 \cdot q^{2} = p^{2} < \to q^{2} = \frac{p^{2}}{2}; p^{2}

ist nach oben gerade, etwas gerades geteilt durch die 2 ergibt wieder etwas gerades, also muss

q^{2}

gerade sein bzw. auch

q

gerade sein.

Was im Widerspruch zur Annahme steht!

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12:28 Uhr, 29.05.2012

\frac{6}{2} = 3

womit deine Beweisführung leider hinfällig wäre...

Mit

2 q^{2} = p^{2} \Rightarrow p^{2}

gerade und folglich auch

p

gerade, bin ich einverstanden.

Aber warum

q^{2}

gerade sein soll, das war nicht überzeugend, benötigt wird

q

oder

q^{2} = 2 \cdot x

wobei

x

irgendein Ausdruck sein soll.

Am Besten du verwendest, dass

p

gerade ist, denn dann gibt es

r \in ℤ

sodass

p = 2 r

was gilt dann für

p^{2}

und die Gleichung

2 q^{2} = p^{2}

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12:29 Uhr, 29.05.2012

(obigen Post korrigiert)

SilverShadow aktiv_icon

12:36 Uhr, 29.05.2012

Stimmt, da hast du Recht.

2 q^{2} = {(2 r)}^{2} \to 2 q^{2} = 4 r^{2} \to q^{2} = 2 r^{2}

Also muss

q^{2}

wegen der 2 gerade sein, und folglich ist auch

q

gerade.

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12:38 Uhr, 29.05.2012

Das ist besser und damit bist du da wo du nach meinem ersten Post hin musstest, da das der angesprochene Widerspruch ist, muss

\sqrt{2}

irrational sein.

Zu deiner zweiten Aufgabe kann ich leider nichts sagen.

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12:45 Uhr, 29.05.2012

Kein Problem, ich denke mal da findet sich schon noch jemand :-)
Auf jeden Fall vielen vielen Dank für die tolle Hilfe!

hagman aktiv_icon

13:00 Uhr, 29.05.2012

So wie

f

definiert ist, gibt es für das Urbild

f^{- 1} (U)

einer beliebigen offenen Menge

U

nur vier Möglihckeiten:

f^{- 1} (U) = \emptyset

f^{- 1} (U) = {x \in ℚ | x < \sqrt{2}}

f^{- 1} (U) = {x \in ℚ | x > \sqrt{2}}

f^{- 1} (U) = ℚ

Da diese vier Mengen jeweils offn in

ℚ

sind, ist

f

stetig

SilverShadow aktiv_icon

13:51 Uhr, 29.05.2012

Hä, das musst du mir jetzt genauer erklären, wie heißt denn in dem Fall das Kriterium wann

f

stetig ist?
Achja: Könntest du dir im anderen Thread

(; P)

nochmal anschauen ob meine Lsg. zur Zusatzaufgabe passt? Merci :-)

Shipwater aktiv_icon

13:56 Uhr, 29.05.2012

Siehe: de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Stetigkeit

SilverShadow aktiv_icon

14:52 Uhr, 29.05.2012

Ah, dankeschön.
http//de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit_%28Topologie%29

Nur um das nochmal genau zu verstehen:
Die Abbildung

Q \to R

hier ist stetig, wenn

R

eine offene Menge ist (ist es ja) und wenn das Urbild unter

f

wieder offen in

Q

ist.
Und wie hagman ja schon geschrieben hat, sind alle "Urbilder" wiederum offen.

Und das würde dann schon reichen, oder?

Shipwater aktiv_icon

15:09 Uhr, 29.05.2012

Bei besagter Funktion

f

ist das Urbild jeder offenen Teilmenge von

ℝ i n ℚ

offen, also ist

f

stetig. Schau doch mal nach, ob ihr diesen Satz schon bewiesen habt.

SilverShadow aktiv_icon

15:25 Uhr, 29.05.2012

Mhm bisher hab ich noch nichts gefunden, aber es ist recht schwer das Skript zu wälzen, da das alles handschriftlich ist. Ist sowas denn Stoff einer Ana1 VL?

Shipwater aktiv_icon

15:30 Uhr, 29.05.2012

Klar ist das Ana I.

SilverShadow aktiv_icon

15:31 Uhr, 29.05.2012

Gut, dann nehme ich mal diese Lösung. Da die Übungen unserer VL sowieso immer vorraus sind, werde ich das denke ich mal machen dürfen?

SilverShadow aktiv_icon

15:38 Uhr, 29.05.2012

Also dann vielen vielen Dank nochmals für eure Hilfe, hat mir wirklich weitergeholfen! :-)

Shipwater aktiv_icon

15:46 Uhr, 29.05.2012

Viel Erfolg weiterhin.

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