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Wurzel 5 ist irrational
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Analysis, irrational, Sonstig, Zahl
 
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Wir sollen beweisen dass Wurzel 5 irrational ist. Wir haben dass so in die Vorlesung gemacht dass wir es durch Widerspruch machen. Ich nehme an dass es rational wäre. D.h wobei m und n natürliche Zahlen sind.Wir nehmen auch an dass 5 kein gemeinsame Teiler von m,n ist. Dann quadrieren wir und bekommen wir . D.h d.h 5 ist Teiler von m^2 und dann haben wir gesagt dass 5 auch Teiler von m wäre wegen die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Wenn mir jemand erklären könnte wieso 5 auch Teiler von m ist, also diese letzte Teil, wäre ich sehr dankbar. Dann weiss ich wie ich weitergehen kann Lg, Pecolli Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: n-te Wurzel Wurzel (Mathematischer Grundbegriff) |
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Gleichungen haben die Form linker Term = rechter Term. Wenn beide Terme gleich sind und der rechte durch 5 teilbar ist, muss es ja zwangsläufig der linke auch sein (sonst wären beide Terme nicht gleich). |
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Ich wollte nur wissen wieso aus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung die Tatsache folgt dass 5 auch Teiler von m ist. |
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Ich kann deine Aussage nicht so richtig deuten. Hast du es jetzt verstanden oder noch nicht? |
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Nein habe ich natürlich nicht verstanden. sehr unklar. Es wäre sehr hilfreich wenn Sie eine Antwort geben könnten mit was ich tatsächlich gefragt habe. Ich habe überhaupt keine Gleichung ich muss genau dass beweisen dass 5 * ein Zahl = m ist, so es macht kein Sinn wenn Sie über Gleichungen reden. |
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"Ich wollte nur wissen wieso aus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung die Tatsache folgt dass 5 auch Teiler von m ist." Dann formuliere ich meine Antwort mit Bezug auf die Primfaktorzerlegung neu. Ich schreib: "Gleichungen haben die Form linker Term = rechter Term. Wenn ... der rechte durch 5 teilbar ist, ..." Das kann man so formulieren: Die rechte Seite enthält den Primfaktor 5. Nun ist laut Gleichung die linke Seite gleich der rechten (und die EINDEUTIGE Primfaktorzerlegung muss damit auf beiden Seiten DIE GLEICHE sein). Damit muss auch die linke Seite den Primfaktor 5 enthalten. Die linke Seite ist m²=m*m und wenn da der Primfaktor 5 drin steckt, kann er ja nur in einem der beiden Faktoren m stecken. (Und wenn er in einem m steckt, steckt er natürlich auch noch in dem anderen gleichen m). |
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Hallo, machen wir es doch mal so: ist genau dann eine Quadratzahl, wenn jeder Primfaktor in der Primfaktorzerlegung von dort geradzahlig oft aufgeht. "": Sei ( Primzahlen, zugehöriger Exponent (natürlichzahlig)). Es gilt offenbar , d.h. ist Quadrat von . "": Sei und die Primfaktorzerlegung von . Wieder (wie oben) wegen der Potenzgesetze UND der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dann , d.h. jeder Exponent in der Primfaktorzerlegung ist geradzahlig. qed So, damit gehen wir an deine Gleichung . In der Primfaktorzerlegung der Zahl links () kommt der Primfaktor geradzahlig oft vor, da ein Quadrat ist. In der Zahl rechts () kommt der Primfaktor aber ungeradzahlig oft vor. Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Mfg Michael |
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Hallo, Nach der in der Algebra üblichen Definition heißt eine Zahl () prim, wenn aus " teilt " folgt, dass dann ein Teiler von oder von ist. ist eine Primzahl, die die rechte Seite teilt, also teilt sie auch die linke Seite , da beide Seiten gleich sind, und da sie prim ist, teilt sie einen der beiden Faktoren, also . Die Eindeutogkeit der Primfaktorzerlegung ist eine Folge der Eigenschaft "prim". In diesem Falle kommen wir aber allein mit der Definition des Begriffes "prim" aus. Gruß ermanus |
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vgl.: matheguru.com/allgemein/beweis-dass-die-wurzel-aus-2-irrational-ist.html |
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