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Wurzel Ungleichung Beweis

Universität / Fachhochschule

17:00 Uhr, 10.11.2010

Hallo zusammen,

ich bräuchte leider einmal Hilfe bei Folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für reelle Zahlen a,b mit a, b >= 0 gilt

$| \sqrt{a} - \sqrt{b} | \leq \sqrt{| a - b |}$

Wenn ich das quadriere steht dort ja

$| a + b - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} | \leq | a - b |$

habe leider keine Ahnung wie es weitergeht.

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

17:17 Uhr, 10.11.2010

OBdA ist

a \geq b

.
Dann geht es einfach um

\sqrt{a} - \sqrt{b} \leq \sqrt{a - b}

Quadrieren liefert (äquivalent, weil beide Seiten

\geq 0

sind)

a - 2 \sqrt{a b} + b \leq a - b

(dein Resultat ohne Betragsstriche)

\Leftrightarrow 2 b \leq 2 \sqrt{a b}

. Von mir aus nochmal quadrieren und den Vorfaktor weg

\Leftrightarrow b^{2} \leq a b

. Das folgt aber aus

0 \leq b \leq a

17:31 Uhr, 10.11.2010

Vielen Dank schonmal!

Ich verstehe leider nur nicht genau, wie du auf die vorletzte Zeile kommst (oder ich bin blind^^). Was hast du dort gemacht?

Danke nochmal,

18:24 Uhr, 10.11.2010

a - 2 \sqrt{a b} + b \leq a - b ∣ - a

- 2 \sqrt{a b} + b \leq - b ∣ - b

- 2 \sqrt{a b} \leq - 2 b ∣ \cdot (- 1)

2 \sqrt{a b} \leq 2 b ∣ \cdot ½

\sqrt{a b} \leq b ∣^{2}

a b \leq b^{2} ∣ \cdot \frac{1}{b}

a \leq b

18:35 Uhr, 10.11.2010

Ah, danke! Aber Wenn du die Ungleichung mit (-1) multiplizierst dreht sich doch das "größer gleich" Zeichen um, oder?

Und ich brauche wirklich nur zu zeigen, dass OBdA. a≥b ist?

18:54 Uhr, 10.11.2010

genau=) deswegen ist das ergebnis auch falsch,

a \geq b

muss da natürlich stehen.

20:49 Uhr, 10.11.2010

Danke für den Hinweis ... verbesserte Version:

2 \sqrt{a b} \geq 2 b ∣ \cdot ½

\sqrt{a b} \geq b ∣^{2}

a b \geq b^{2} ∣ \cdot \frac{1}{b}

a \geq b

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