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Wurzel in Real- und Imaginärteil

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Imaginärteil, Komplexe Zahlen, realteil

nEmai aktiv_icon

13:22 Uhr, 13.11.2010

Heyho,

ich verzweifle gerade an

\sqrt{- 4 i}

Die Lösung in Form

a + b i

ist laut Maple

\sqrt{2} - i * \sqrt{2}

Kann mir jemand erklären wie man da hinkommt? Das einzige was ich damit anfangen kann ist:

\sqrt{- 4 i} = \sqrt{- 1 * 4 * i} = \sqrt{i^{2} * 2^{2} * i} = 2 i * \sqrt{i}

und das ist schon falsch. (Kann mir da auch jemand sagen warum das so nicht geht?)

Mfg^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Didgeridoo aktiv_icon

13:46 Uhr, 14.11.2010

\sqrt{- 4 i}

soll ja eine komplexe Zahl sein, dann ist also:

\sqrt{- 4 \cdot i} = a + b \cdot i

sprich

- 4 \cdot i = a^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i - b^{2}

. Jetzt noch Koeffizientenvergleich durchführen und fertig.

- 4 = 2 \cdot a \cdot b

0 = a^{2} - b^{2}

\to a_{1} = - \sqrt{2}, b_{1} = \sqrt{2}

a_{2} = \sqrt{2}, b_{2} = - \sqrt{2}

Alles klar?

nEmai aktiv_icon

13:57 Uhr, 14.11.2010

Aber im absoluten Gegenteil.^^

Wie kommst du von

- 4 * i = a^{2} + 2 * a * b * i - b^{2}

auf

- 4 = 2 * a * b

und

0 = a^{2} - b^{2}

???
Und vor allem wohin verschwindet das i?

Mfg.

Didgeridoo aktiv_icon

14:05 Uhr, 14.11.2010

Also: Schau dir mal:

a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i

an. Was ist hier der Realteil und der Imaginärteil?
allg. ist ja

z = c + d \cdot i

dann Re(z)=c und Im(z)=d, da ist kein

i

drin.
Dann ist Re(

a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i) = a^{2} - b^{2}

und Im(

a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i) = 2 \cdot a \cdot b

Jetzt vergleichst du das ganze mit

- 4 \cdot i

Re(

- 4 \cdot i) = 0

(- 4 \cdot i) = - 4

Folglich muss

a^{2} - b^{2} = 0

und

2 \cdot a \cdot b = - 4

sein.
Erst dann kommt das

i

wieder zum Zug, denn durch das Lösen der Gleichung bekommst du wie du:

a_{1} = \sqrt{2}, b_{1} = - \sqrt{2}

Also ist

z_{1} = \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot i

analog bei

z_{2}!

Hoffe, es ist dir jetzt etwas klarer!
LG

nEmai aktiv_icon

15:02 Uhr, 14.11.2010

Jetz hab ichs kapiert, danke.

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