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Wurzel ziehen im Kopf

Schüler

Tags: Wurzel im Kopf

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23:21 Uhr, 10.08.2018

Gibt es einen einachen Trick um wurzeln mit größeren Zahlen und auch die 3 oder 4 Wurzel im Kopf zu ziehen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

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07:39 Uhr, 11.08.2018

Nein, außer bei bestimmten Zahlen, die man faktorisieren oder als Potenz von Potenzen schreiben kann.
$\sqrt{5617} z . B$ . kann wohl nur ein Rechenkünstler im Kopf ausrechnen.
Schon bei $\sqrt{2}$ hat Otto-Normal-Hirn Probleme. :-)

anonymous

12:41 Uhr, 11.08.2018

Mach dich mal schlau, wer das indische Rechenwunder $= = \Rightarrow$ Shakuntala Devi war; in Sekundenbruchteilen kann die Quadrat-und Kubikwurzeln aus beliebig großen Zahlen ziehen
( Sie erkennt auchsofort, wenn eine Zahl keine Quadrat_bzw. Kubikzahl ist;

" Zahl kapuuut ..." )

Ich habe sie gefragt, wie sie das macht. " I don't know. "

Weißt du, was Kinderarbeit ist? In der Zeitschrift GEO stand; als sie 5 war, sprach ihr Vater also:

" Meine kleine; du musst immer auf deine Gesundheitr achten. Du bist UNSERE EINZIGE HOFFNUNG, DASS DIE FAMILIE SATT WIRD . "

Da muss ich immer an meinen eigenen Daddy denken, Spitzname " Leo "

" Wenn ihr nur einen Funken Ahnung hättet, wie es woanders zugeht . Dann würdet ihr den Rand nicht so aufreißen. Darum halt die Klappe; UND TU , WAS MAN DIR SAGT $. .$ . "

Aber schau dir mal die Lebenserinnerungen von $= = \Rightarrow$ Wim Klein an ( der nebenbei auch nie tun wollte, was sein Vater von ihm verlangte. ) Der berichtet, dass er die $13$ . Wurzel im Kopf konnte. Wie das? Er hatte die 13-STELLIGE LOGARITMENTAFEL auswändig gelernt .
( Weißt du überhaupt, was das ist? Eine Logtafel? )

" Was, bitte, ist eine Telefonzelle? "

$D . h$ . " alles " was Wim noch zu tun blieb: im Kopf durch $13$ teilen $. .$ .

Als ich noch Grundschüler war, waren meine Leistungen im Kopf Rechnen nicht die aller besten. Den Digest gelesen haben wir alle; damals $a \cap o 59 -$ da war ich Acht - gelang es mir als einzigem Kind dieser Altersgruppe ( wahrscheinlich sogar von ganz Deutschland ) dem Digest die antiautoritäre Erziehungsteorie zu entnehmen. Darüber war die $= = \Rightarrow$ Frankfurter Schule soi begeistert, dass Michael Ende seinen Jim Knopf FÜR MICH ALLEIN verfasste .
( Ich besitze einen Kronzeugen; den Vater meines Klassenkameraden Mike. )
( Jetzt ist ja der Film; ein Tränchen ist da bei mir schon geflossen. )

Du; der Wink mit dem Zaunpfahl kam SEHR WOHL bei mir an; ich meine die Rechenschule von Frau Maltzahn . Michael Ende meint MICH GANZ ALLEIN

" Naa; willst du deiner Freundin Li Si nicht nacheifern? "

A Propos. Lösest du gerne Rätsel?
Ich war $38$ . Und da entdeckte ich, dass der Jim Knopf ein matematisches Rätsel enthält . Es wird nirgends gesagt .
willst auch du es suchen und lösen? wird man hier übrigens durch Kommentar benachrichtigt?

anonymous

12:55 Uhr, 11.08.2018

Hallo
Du sprichst von "Kopfrechnen".
Was genau meinst du damit?
Willst du eine exakte Lösung, oder genügt dir eine Überschlagsrechnung?

Sehr häufig geht es beim Kopfrechnen einach um Plausibilisierung, um Abschätzung , um Überschlagsrechnung. Man will sich eine Vorstellung davon verschaffen, in welcher Größenordnung das Ergebnis liegt. Wenn man ein genaueres Ergebnis haben will, dann greift man meist eh zum Taschenrechner.

Für eine Überschlagsrechnung aber kann man durchaus im Kopf beliebige Wurzeln rechnen, nämlich über das Verständnis des Logarithmus.

Beispiel:
$x = \sqrt[5]{100000000} = 100000000^{\frac{1}{5}}$

Da mache ich im Geiste (im Kopf):
$x =$ 10^(lg(100000000^0.2)) = 10^(0.2*lg(100000000)) $= 10^{0.2 \cdot 8} = 10^{1,6} = 40$

Mit ein wenig Übung und Routine und für eine Abschätzung taugt das allemal.

willyengland aktiv_icon

15:00 Uhr, 11.08.2018

Ich kenne folgende Abschätzung:

Nehmen wir an, du willst die Wurzel aus $13$ abschätzen.
Sie muss zwischen 3 und 4 liegen, denn $3^{2} = 9$ und $4^{2} = 16$ .
$D . h$ . $\sqrt{13} = (3 + x)$
also $13 = {(3 + x)}^{2}$

${(3 + x)}^{2} = 9 + 6 x + x^{2}$
Wir vernachlässigen $x^{2},$ da es sehr klein ist.
also $13 = 9 + 6 x$
$\Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Also ist die $\sqrt{13} \approx 3 \frac{2}{3}$ (real: $3,605 ...)$ .

anonymous

16:59 Uhr, 11.08.2018

Ein toller Zaubertrick - so ganz wohl wird mir nicht dabei .

$9 + 6 x + x$ ² $= 13 : : : : : : : (1)$

Unter Vernachlässigung des quadratischen Terms sagen wir $x = \frac{2}{3}$

$9 + \frac{2}{3} = 13 -$ na bravo . Da ist der Term $x$ ² wirklich vernachlässigbar zu klein, um diese Diskrepanz noch zu retten $. .$ .
Aber selbst wenn ich bei diesem Hokuspokus glauben soll, dass $3 + x$ eine gute Näherung für Wurzel $(13)$ ist ( warum eigentlich? ) dann hast du entschieden zu weitr geschossen . Wenn $x$ ² die kleine Korrektur von $\frac{11}{3}$ auf Wurzel $(13)$ sein soll, dann wäre $x$ ² ja nicht vernachlässigbar, sondern negativ $. .$ .

ermanus aktiv_icon

17:49 Uhr, 11.08.2018

Hallo,

die von gilgamesch als Trick verleumdete Methode
ist die Taylor-Entwicklung von $\sqrt{a^{2} + h}$ , nach dem
linearen Glied abgebrochen. Natürlich ist das für kleines $h$ eine gute
Näherung, ansonsten muss man eben erst nach einem höheren
Glied der Taylor-Reihe abbrechen.

Gruß ermanus

anonymous

18:07 Uhr, 11.08.2018

Hallo gilgamesch
Ich ahne, das ist ein Missverständnis.
nicht
"9+2/3 $= 13 -$ na bravo"
sondern willyengland hatte erklärt:
$\sqrt{13} = 3 + x =$ ca. $3 [+] \frac{2}{3}$
Und das ist angesichts
$\sqrt{13} = 3.60555$
eine schon sehr diskutabel gute Näherung, wie schon gesagt eine lineare Annäherung.

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15:54 Uhr, 12.08.2018

Also mein Hintergedanke war ich Studieren demnächst und da man da in Mathe kein Taschenrechner nutzen darf, will ich mein Koprechnen rainieren. Für Addition Subtration Division und Mutipikation gibt es einfache Metoden zum Kopfrechnen. Leider habe ich noch keine zum Wurzelziehen gefunden Potzenen hoch 2 kann man auch mit Tricks ausrechen. Nur die Wurzel nicht

anonymous

16:47 Uhr, 12.08.2018

Ich will auf Erasmus antworten.. Die Begründung über die Taylorentwicklung leuchtet mir ein . ( Toll, dass man in einem Matheforum keine Bruchstriche machen kann; dass er alles linksbündig schreibt . )

$f' (9 + x) = \frac{1}{2}$ sqr $(9 + x) : : : : : : : : (1)$

$f' (9) = \frac{1}{6} : : : : : : : : : : (2)$

$f (9 + x) = 3 + \frac{x}{6} + ...$ . $: : : : : : : (3)$

Dann wird nämlich sofort klar, warum die quadratische Ergänzung negativ ausfällt:

$\frac{1}{2} f$ " $(9 + x) = - \frac{1}{8} (9 + x)$ sqr $(9 + x) : : : : (4 a)$

$\frac{1}{2} f$ " $(9) = - \frac{1}{8} \cdot 27 : : : : : : : (4 b)$

quadr. Erg. $= - \frac{16}{8} \cdot 27 = (- \frac{2}{27}) : : : : : : : (4 b)$

$2 (\frac{1}{3} - \frac{1}{27}) = \frac{16}{27} = . 5925925 ...$ . $: : : : : : : : (5)$

Das kann sich durchaus sehen lassen im Vergleich zu der Mantisse von sqr $(13)$

$6055$

Du kannst aber NICHT her gehen und sagen

sqr $(13) = : 3 + x - - - - \to 9 + 6 x + x$ ² $= 13 : : : : : : : (6)$

du sagst, wegen seiner " Kleinheit " könntest du den Term $x$ ² vernachlässigen in $(6)$ Das ist in jedem Falle Unsinn; denn in deiner Näherung ist ja schon $9 + x = 13; x$ ² müsste denn negativ ausfallen .
Falsche Begreündungen für richtige Ergebnisse, die sich schnell als inkonsistent erweisen, so bald man versucht, die Genauigkeit zu steigern .

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17:03 Uhr, 12.08.2018

"Ich will auf Erasmus antworten"

Der verkauft gerade Öloptionen in Rotterdam. :-)

ermanus aktiv_icon

18:20 Uhr, 12.08.2018

Hier meine Schulmethode von vor 55 Jahren:
Interpolation der Funktion $f (x) = \sqrt{x}$ .
Gegeben sind die Wertepaare $(9, 3), (16, 4)$ . Gesucht $(13, \tilde{y})$ :

$\tilde{y} = 3 + (13 - 9) \cdot \frac{4 - 3}{16 - 9} = 3 + \frac{4}{7} \approx 3, 571$

Damit wird $\sqrt{13}$ unterschätzt, da $f$ konkav ist.

Gruß ermanus

@supporter: ;-) :-)

Atlantik aktiv_icon

18:50 Uhr, 12.08.2018

@gilgamesch
" ( Toll, dass man in einem Matheforum keine Bruchstriche machen kann; dass er alles linksbündig schreibt . )"

Im Textmodus geschrieben:

$y = \sqrt{9 + x^{2}}$

$y$ ´ $= \frac{x}{\sqrt{9 + x^{2}}}$

mfG

Atlantik

$B i l d :$

anonymous

18:55 Uhr, 12.08.2018

Hallo gilgamesch
"Du kannst aber NICHT her gehen und sagen"

Williengland und Erasmus nutzen eine Näherung, und erklären dies auch. Und sie sind auf ihre Weise erfolgreich. Wer will dieses Tun verbieten?

Es ist wie so oft im Leben, es gibt viele Wege nach Rom.
Gesucht war eine brauchbare Antwort auf die Anfrage, Wurzeln im Kopf zu rechnen. Da gibt es viele Möglichkeiten, Herangehensweisen, Genauigkeitsgrade, Präzisierungswünsche, Vereinfachungsoptionen.
Solange die Nutzer wissen was sie tun und ihr Tun bzgl. Genauigkeit einschätzen können, darf jeder hier im Forum gute Vorschläge gerne einbringen.

ermanus aktiv_icon

19:23 Uhr, 12.08.2018

Ich möchte als weitere Möglichkeit noch auf das Heron-Verfahren
hinweisen:
Um $\sqrt{a}$ ( $a > 0$ ) anzunähern bedient man sich der rekursiv
definierten Folge:
$x_{n + 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \frac{a}{x_{n}})$ . Wenn man ein "gutes" $x_{0}$ als
Startwert hat, kommt man schnell zu einer guten Näherung:

In unserem Falle $\sqrt{13}$ wählen wir $x_{0} = 4$ :

$x_{1} = \frac{1}{2} (4 + \frac{13}{4}) = \frac{29}{8} = 3, 625$

anonymous

22:44 Uhr, 12.08.2018

In der Tabelle sehe ich weder Bruchstriche noch, wie man es erreicht, dass er nicht linklsbündig orientiert, sondern auf den Bruchstrich .

ermanus aktiv_icon

23:55 Uhr, 12.08.2018

@gilgamesch: ich benutze immer den Experten-Modus (LaTeX).
Als Mathematiker oder Physiker oder... sollte man LaTeX ohnehin lernen.

Um das Heron-Verfahren zu "zwingen", genauere Näherungen zu erzeugen,
kann man folgendermaßen vorgehen:
Man nehme den Radikanden mit einer (ganzzahligen) Quadratzahl mal,
so dass das Produkt möglichst nahe an einer Quadratzahl zu liegen kommt:
Um $\sqrt{a}$ zu bestimmen, bestimmt man eine Näherung für $c \cdot \sqrt{a} = \sqrt{c^{2} a}$ ,
wobei man $c$ so wählt, dass $c^{2} a$ möglichst nahe bei einer Quadratzahl liegt.

Beispiele:
a) wir wollen $\sqrt{2}$ angenähert berechnen.
Es ist $5 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{50}$ . $50$ liegt nahe der Quadratzahl $49$ .
Daher setzen wir Heron mit $x_{0} = \sqrt{49} = 7$ an:
$x_{1} = \frac{1}{2} (7 + \frac{50}{7}) \approx 7, 0714$ , also
$\sqrt{2} \approx 7, 0715 : 5 \approx 1, 4147$ .

b) $\sqrt{3}$ :
$3 \sqrt{3} = \sqrt{27}$ . $27$ liegt nahe bei $25 = 5^{2}$ , also $x_{0} = 5$ :
$x_{1} = \frac{1}{2} (5 + \frac{27}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{52}{5}) = 5, 2$ , folglich
$\sqrt{3} \approx 5, 2 : 3 \approx 1, 7333$ .

c) $\sqrt{13}$ :
$2 \sqrt{13} = \sqrt{52}$ . $52$ liegt nahe bei $49 = 7^{2}$ , also $x_{0} = 7$ :
$x_{1} = \frac{1}{2} (7 + \frac{52}{7}) = 101 / 14 \approx 7, 2143$ ,
$\sqrt{13} \approx 7, 2143 : 2 \approx 3, 6071$ .

Gruß ermanus

anonymous

11:37 Uhr, 13.08.2018

Danke; super

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