Wurzeln mit Polarkoordinaten berechnen

Hallo,

jede komplexe Zahl a+bi lässt sich durch einen Winkel ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und einen Betrag r ausdrücken:

a=r*cos${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, b=r*sin${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

r und ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ sind die Polarkoordinaten

Man schreibt auch ${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Ganz kurz und etwas unsauber formuliert kann man dann so rechnen:

${\displaystyle \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{)}^{0,5}={(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}})}^{0,5}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{0,5}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 0,5\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Allerdings ist der Winkel nicht eindeutig und es gilt auch ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{)}^{0,5}={(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})})}^{0,5}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{0,5}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (0,5\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$

Somit erhältst Du 2 Lösungen.

Bei der 5. Wurzel geht das ähnlich.

${\displaystyle \sqrt[5]{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{)}^{0,2}={(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})})}^{0,2}={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{0,2}\cdot {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot (0,2\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+0,4\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$

Hier setzt Du nacheinander für k 0,1,2,3,4 ein und erhältst 5 Lösungen.

Gruß

Stephan