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Wurzelungleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Fallunterscheidung, Fallunterscheidung mit 2 Beträgen, Ungleichung lösen, Wurzel

Schmidt64 aktiv_icon

21:51 Uhr, 30.10.2015

Hallo liebe Forenmitglieder,
ich habe hier zwei Ungleichungen, die ich lösen soll.

Auf dem ersten Bild die erste Ungleichung mit meinem Lösungsvorschlag. Dazu hätte ich gerne gewusst, ob ich da prinzipiell auf dem richtigen Weg bin.

Auf dem zweiten Bild die zweite Aufgabe, bei der ich noch nicht viele Ideen habe.
Mein Ansatz wäre beide Seiten zu quadrieren und eine Fallunterscheidung vorzunehmen.

Was meint ihr?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Stephan4

22:14 Uhr, 30.10.2015

Allerdings ist

x = - 100

auch eine Lösung, oder?

Aber bei Deiner Lösung ist das nicht berücksichtigt.

Genau so mit

x = - 100

.

Hast richtig begonnen. Nur weiter so.

:-)

Schmidt64 aktiv_icon

22:24 Uhr, 30.10.2015

Du hast Recht, ich habe die Betragstriche ignoriert.. Das geht natürlich nicht!
Das muss ich nochmal überdenken.
Hast Du einen Ansatz für die zweite Aufgabe?
Vielen Dank!

michaL aktiv_icon

22:32 Uhr, 30.10.2015

Hallo,

∣ a ∣ \leq ∣ b ∣ \overset{}{\Leftrightarrow} a^{2} \leq b^{2}

Damit geht es vermutlich mit weniger Fallunterscheidungen!

Mfg MIchael

Stephan4

22:44 Uhr, 30.10.2015

Du hast die Betragstriche nicht ignoriert, sondern weg gelassen, aber zu Recht, denn Du hast ja auch die notwendigen Voraussetzungen geschaffen,

d . h

. die Voraussetzungen bestimmt, unter denen ohne Betragstriche weiter gerechnet werden kann.

Für die anderen Bereiche für

x

kannst Du auch die Betragstriche weg lassen, im Gegenzug aber musst Du das Vorzeichen des Inhaltes ändern, also minus nehmen.

:-)

rundblick aktiv_icon

23:17 Uhr, 30.10.2015

| 2 x + 3 | \leq | 5 - 3 x |

betrachte folgende Intervalle

\to x > \frac{5}{3} . .

. (hier wirst du dann den ersten Teil der Lösungsmenge erhalten)

\to - \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{5}{3}

\to x < - \frac{3}{2}

( du wirst den zweiten Teil der Lösungsmenge erhalten

\to x \in (- \infty; \frac{2}{5}]

zweite Aufgabe:

\sqrt{2 x + 5} > x

\to

du hast schon gut begonnen

betrachte nun das Geschehen in den folgenden zwei Intervallen :

\to - \frac{5}{2} \leq x < 0

\to x > 0 . .

. (hier kannst du dann quadrieren
die positive Lösung der quadratischen Gleichung wird dir das
zweite Lösungsintervall begrenzen

fertig.
.

Schmidt64 aktiv_icon

09:50 Uhr, 31.10.2015

Vielen lieben Dank an alle Helfer!!

Wenn ich auf beiden Seiten quadiere und dann die p-q-Formel anwende, dann komme ich auf folgendes Ergebnis:

Schmidt64 aktiv_icon

11:16 Uhr, 01.11.2015

Sorry, Leute, aber ich bin mit der Aufgabe noch nicht zufrieden..
Wenn ich die quadratische Ungleichung löse, kommt plötzlich die

x = 8

als mögliche Lösung ins Spiel.
Jetzt bin ich nochmal alle Varianten durchgegangen und total verwirrt.

Meine Fragen:
1. Welcher meiner Ansätze ist denn nun der richtige (wenn überhaupt...)
2. Welche Lösungsmenge ergibt sich dann?

Erneut vielen Dank für eure Hilfe!

rundblick aktiv_icon

12:01 Uhr, 01.11.2015

.
"1. Welcher meiner Ansätze ist denn nun der richtige (wenn überhaupt."

irgendwie scheinst du nicht zu kapieren, dass man dir zwei verschiedene Wege
vorgeschlagen hat :
entweder mit Fallunterscheidungen
oder mit Quadrieren

und deshalb machst du nun ein munteres Durcheinander ..

Beispiel :
bei deinem Schritt 3 (Lösungsweg "quadrieren")
bekommst du zunächst richtig

\to 5 x^{2} - 42 x + 16 \geq 0

machst dann aber falsch weiter

hier geht die Überlegung zB so weiter

\to

du schaust dir den Verlauf der nach oben geöffneten Parabel an

\to y = 5 x^{2} - 42 x + 16

das Ding hat die beiden Nullstellen

x_{1} = \frac{2}{5} . .

. und

x_{2} = 8

\to

zwischen diesen Nullstellen verläuft die Parabel unter der x-Achse, dh

y < 0

du willst aber

\to y \geq 0 .

. UND DAS IST DER FALL FÜR

\to x \leq \frac{2}{5} .

. ODER FÜR

\to x \geq 8

UND DAMIT BIST DU FERTIG

!!

\Rightarrow

schreib also nun auf, wie die Lösungsmenge von

| 2 x + 3 | \leq | 5 - 3 x |

aussieht

\to

. .

Schmidt64 aktiv_icon

12:13 Uhr, 01.11.2015

Vielen Dank für die sehr anschauliche Erklärung mit der Parabel. So ist es viel leichter nachvollziehbar.
Somit würde sich dann folgende Lösungsmenge (zwei Schreibweisen) ergeben:

Schmidt64 aktiv_icon

12:26 Uhr, 02.11.2015

Ich hoffe das stimmt jetzt so.
Auf jeden Fall schon einmal vielen lieben Dank an alle Helfer!
Euch allen noch eine schöne Woche.

Bummerang

13:33 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

dir erste Ungleichung ist richtig gelöst, die erste Lösungsmenge stimmt. Die zweite würde ich anders schreiben, denn so stimmt da syntaktisch was nicht:

L = (- \infty; \frac{5}{2}] \cup [8; + \infty)

Alternativ könntest Du auch schreiben:

L = ℝ \ (\frac{5}{2}; 8)

Das sind alle reellen Zahlen die nicht im offenen Intervall

(\frac{5}{2}; 8)

liegen.

1264255

1263451

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