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X Würfel mit Ergebnis Y aus Z Würfen

Schüler

Tags: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Würfel

RemyZeno aktiv_icon

14:02 Uhr, 07.05.2017

Hallo,

ich habe hier ein Problem, allerdings scheitere ich im Moment.

Meine allgemeine Ausgangsfrage war: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit mit einer variablen Anzahl von Würfeln, die jeweils eine gleiche Seitenzahl haben, bei einem einzigen Wurf, ein bestimmtes Ergebnis

(X

Anzahl von Würfeln mit einer bestimmten Augenzahl) zu erzielen?"

Weniger allgemein, als Beispiel:
"Wie wahrscheinlich ist es beim Wurf von 5 Würfeln mit 6 Seiten

3 x

eine Sechs zu erzielen?"
"Wie wahrscheinlich ist es mit 4 Zehnseitigen Würfeln 2 Zehner zu würfeln?"

Als Variablen gibt es also:

W =

Anzahl der Würfel im Wurf

X =

Augenzahl der Würfel

Y =

Günstige Ereignisse pro Würfel (Erfolge)

Z =

Benötigte Zahl an Erfolgen im Wurf

Als Ziel habe ich das ganze so in Excel um zu setzen, dass ich nur die Variablen ändern muss um andere gegebenheiten zu simulieren.

Geschafft habe ich bisher nur Teilziele:

1)

Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg im Wurf

2)

Wahrscheinlichkeit für

100 %

Erfolge im Wurf

(d . h

. alle Würfel zeigen

Y)

Vielen Dank im Voraus!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Roman-22

16:24 Uhr, 07.05.2017

>

Geschafft habe ich bisher nur Teilziele:

> 1)

Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg im Wurf
Und was hattest du da für ein Ergebnis?

Im Übrigen hast du in deiner Frage

X

unterschiedliche Bedeutung zugeordnet.
Beim ersten Mal war

X

die Würfelanzahl (die du danach

W

getauft hattest) und dann später war es "Augenzahl der Würfel"?

Ich nehme an, dass

X

die Seitenanzahl der Würfel sein soll, oder?
Und vermutlich ist jeder Würfel auf den Seiten mit den Zahlen/Augen von 1 bis

X

beschriftet und somit gilt

1 \leq Y \leq X

.
Im Grunde ist

Y

ja dann unerheblich, da das Ergebnis für jedes

Y

das gleiche ist.

RemyZeno aktiv_icon

16:51 Uhr, 07.05.2017

Danke für die Antwort, ja natürlich hast Du recht, da habe ich doppelt benannt.

Genau,

X

sei die Seitenzahl, also ein

4, 6, 8

oder wie-auch-immer-seitiger Würfel.
Und

W

ist dementsprechend die Anzahl an Würfeln.
1≤Y≤X gilt somit.

〉

Geschafft habe ich bisher nur Teilziele:

〉 1)

Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg im Wurf

>

Und was hattest du da für ein Ergebnis?

Die Frage "Wie wahrscheinlich ist es in einem Wurf einen Erfolg zu haben?" habe ich so realisiert:

p = (\frac{y}{x}) \cdot {(\frac{x - y}{x})}^{w - 1}

Mein Gedankengang: Eine 6 auf einem 6-seitigen Würfel

(x = 6)

entspricht einem günstigen Ereignis

(y = 1)

. Die anderen Würfel

(w - 1,

weil einer zeigt ja einen Erfolg) müssen folglich alle das Gegenereignis

(\frac{x - y}{x}, d . h

\frac{6 - 1}{6},

bzw.

\frac{5}{6})

zeigen. Eine "und"-Verbindung wurde - soviel habe ich mir behalten - durch × realisiert, daher währen es bei 5 Würfeln insgesamt noch

4,

die alle keinen Erfolg zeigen dürfen - also

(\frac{1}{6}) \cdot (\frac{5}{6}) \cdot (\frac{5}{6}) \cdot (\frac{5}{6}) \cdot (\frac{5}{6})

oder kurz

p = (\frac{1}{6}) \cdot {(\frac{5}{6})}^{4} = ~,08037

Damit weiß ich aber nur den Spezialfall "Von allen gewürfelten Würfeln zeigt genauer einer (und nicht mehr) einen Erfolg".

Verallgemeinere ich das, spüre ich da einen Haken: Lasse ich Excel das durchgehen resultiert mit der Formel, dass es weniger Wahrscheinlich ist mit 4 Würfeln 3 mal die 6 zu würfeln, als mit 3 würfeln 3 mal die 6 zu würfeln.
Für 3 Sechser bei einem Wurf mit 3 Würfeln:

{(\frac{1}{6})}^{3} = 0,0046

Für 3 Sechser bei einem Wurf mit 4 Würfeln:

{(\frac{1}{6})}^{3} \cdot (\frac{5}{6}) = 0,0038

Roman-22

17:46 Uhr, 07.05.2017

>

p=(yx)⋅(x−yx)w−1
Also, das ist wertlos, wenn du nicht verrätst, was diesmal

x, y,

und

w

sein sollen.

>

Mein Gedankengang: Eine 6 auf einem 6-seitigen Würfel

(x = 6)

entspricht einem günstigen Ereignis

(y = 1)

y = 1

soll genau was bedeuten? Die Anzahl der Würfel, die eine 6 zeigen? Also das, was eben noch

Z

geheißen hat? Und

x

soll wohl das gleiche wie vorhin

X

sein, oder?

Warum diese Verwirrungen?

> ~,08037

falsch gerundet

>

Damit weiß ich aber nur den Spezialfall
Leider nicht ganz und das war auch der Grund für mein Nachfragen weil ich diesen Fehler befürchtet hatte.

>

Verallgemeinere ich das, spüre ich da einen Haken
Gut so, und zu Recht!
Und würdest du nun ALLE Möglichkeiten von "keine einzige 6" über "genau eine 6" bis "genau 5 Sechsen" durchrechnen und alle sechs gewonnenen Wahrscheinlichkeiten addieren, würde noch einiges auf

100 %

fehlen. Das kann also nicht richtig sein.

Es handelt sich hier um simple Binomialverteilung.

Was du berechnet hast ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein ganz bestimmter Würfel von den fünf eine Sechs zeigt. Wir sind aber schon zufrieden, wenn irgend einer der 5 Würfel eine Sechs zeigt.
Also erst einen Würfel von den 5 auswählen und dann deine Wkt. Auf wie viele Arten kann man denn einen Würfel aus fünf wählen - da gibts wohl fünf Möglichkeiten. Formal und für später brauchbar, es sind

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})

Möglichkeiten. Die Wkt für genau eine 6 unter 5 Würfeln ist daher ca.

40,19 % -

genau so groß wie die WKT für keine Sechs.
Genau so gehts dann weiter.
Für genau 2 Sechsen wählst du erst die zwei Würfel (auf wie viele Arten?) und dann eben die Wkt dafür. Da wirds dann mit

16,08 %

schon weniger und weiter gehts mit

3,22 %, 0,32 %,

und zuletzt

0,01 %

WKT für fünf Sechsen.

Und genau das gleiche Prinzip ist auch anwendbar, wenn die Anzahl der Würfel und die Anzahl der Seitenflächen variiert.

P . S . :

Binomialkoeffizienten berechnet man in Excel ganz einfach.

Z . B

. "=KOMBINATIONEN(5;2)" für

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

RemyZeno aktiv_icon

18:36 Uhr, 07.05.2017

Danke für die Ausführungen, kann ich gut nachvollziehen bis...

"Formal und für später brauchbar, es sind

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})

Möglichkeiten. Die Wkt für genau eine 6 unter 5 Würfeln ist daher ca.

40,19 % -

genau so groß wie die WKT für keine Sechs."

Genau an dieser Stelle fehlen mir Zwischenschritte. Ich kann nicht nachvollziehen, wie von

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix})

auf

40,19 %

gekommen wird.

Roman-22

18:46 Uhr, 07.05.2017

(\begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix}) = 5,

die Anzahl der Möglichkeiten, 1 Element aus 5 möglichen zu wählen.
Und 5*deiner WKT = ?

RemyZeno aktiv_icon

19:29 Uhr, 07.05.2017

Ah, jetzt, ich war auf dem Holzweg, da ich dachte dieser Weg stelle eine Alternative zu meinem da, den ich daraufhin geistig verworfen habe.

Die Tabelle sieht jetzt schonmal stimmiger aus,

d . h

z . B

. keine Zahl über 1 und nach "unten" hin abnehmend.

Ich war ja anfangs an einer Verallgemeinerung interessiert,

d . h

. einem Würfelsimulator der auch Anfragen über 20-Seitige Würfel verarbeiten kann.

Ich bin ein Mensch, der immer versucht alles richtig zu verstehen, daher versuche ich mich mal am aufstellen einer "neuen" Formel aus dem eben gelernten.

n =

Insgesamt geworfene Würfel

g =

Günstige Würfeln (=Erfolge)

y =

Anzahl der positiven Ergebnisse eines einzelnen Würfels

x =

Seiten eines einzelnen Würfels

p = (\begin{matrix} n \\ g \end{matrix}) \cdot (({(\frac{y}{x})}^{g}) \cdot ({(1 - (\frac{y}{x}))}^{n - g}))

Zumindest in Excel komme ich so zum gewünschten

(d . h

. plausiblen) Ergebnis.

Roman-22

20:07 Uhr, 07.05.2017

Ja, deine Formel ist so richtig.
Ein paar Klammern weniger wären mehr gewesen

P = (\begin{matrix} n \\ g \end{matrix}) \cdot {(\frac{y}{x})}^{g} \cdot {(1 - \frac{y}{x})}^{n - g}

Natürlich hast du der Tradition dieses Threads folgend wieder neue Bezeichner eingeführt

: - (

Etwas irritierend dein

y

. Denn das war doch bisher immer gleich 1.
Aber damit kannst du natürlich jetzt auch berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass beim Werfen mit 9 Ikosaedern (20-seitige Würfel) genau 4 Würfel eine Primzahl zeigen und kommst auf gute

25 % (y = 8)

RemyZeno aktiv_icon

22:20 Uhr, 08.05.2017

Danke für Deine Hilfe! Das Problem ist schnell und kompetent gelöst worden.

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