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Zahlenreihe// Regelmäßigkeit?? Wie rechnen...?

Schüler

Tags: Anzahl, Würfel, Zahlenreihe

TKrueger aktiv_icon

10:47 Uhr, 04.03.2018

Hallo!
Wir sitzen mit unserer Tochter vor einer Aufgabe! Ziel ist es eine allgemeingültige Formel zu finden, die Würfeltürme jeder Größe berechenbar macht! Es geht also immer um die Anzahl der Würfel..
In der angefügten Aufgabe könne wir leider nur zählen, nicht rechnen!
Die Reihe läuft nach dem Prinzip:

1 + (1 + 2) + (3 + 3) + (6 + 4) + (10 + 5) + . .

.
Wenn der Turm größer wäre, kann ich nicht mehr zählen!!!
Danke für Eure Hilfe!
Foto der Aufgabe hängt an.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

11:10 Uhr, 04.03.2018

(1) + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... (1 + 2 + 3 + ... + n)

= \sum_{p = 1}^{n} [\sum_{k = 1}^{p} k]

= \sum_{p = 1}^{n} [\frac{1}{2} p (p + 1)]

= \frac{1}{2} \sum_{p = 1}^{n} [p^{2} + p]

= \frac{1}{2} [\frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + \frac{1}{2} n (n + 1)]

= \frac{1}{4} n (n + 1) [\frac{2 n + 1}{3} + 1]

;-)

Roman-22

13:07 Uhr, 04.03.2018

Um Welche Schulstufe geht es denn? Was wird denn gerade genau im Unterricht behandelt? In welchem Kapitel des Buches ist die Aufgabe eingereiht?
Die Fragen stellen sich, weil es ja auch möglich wäre, dass nur die sichtbaren Würfel gezählt werden sollen.
Der Arbeitsauftrag "Wie viele Würfel?" ist ja recht dürftig und wird auch nicht dadurch besser, dass er zweimal da steht. Abgesehen davon steht da nichts von einer allgemeinen Formel für beliebig hohe Q*bert-Türme.

Ansonsten hat Edddi ja schon gezeigt, wie man die Lösung herleiten kann, wenn die Partialsummenformeln für

\sum k

und

\sum k^{2}

als bekannt vorausgesetzt werden dürfen.
Sein Ergebnis sieht in der Darstellung

... = \frac{1}{6} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)

etwas netter aus.

\sum k

ist als arithmetische Reihe sicher Schulstoff, bei

\sum k^{2}

weiß ich nicht, ob das im im Unterricht behandelt wird. Aber das wird deine Tochter ja wissen, ob sie auch diese Formel parat haben muss.

P . S . :

Wurden eigentlich Differenzfolgen/-reihen von Folgen im Unterricht behandelt?

TKrueger aktiv_icon

20:54 Uhr, 04.03.2018

Viele Neue dank für die Hilfe! Die Aufgabe ist aus einer Matje-Knobel-AG der Klasse

4!

Unglaublich...
Eine Freundin hat die Lösung

n + n (n + 1)

angegeben, wobei

n

die Anzahl der Ebenen (Terrassen) darstellt. Funktioniert aber erst ab 3 Ebenen...
Eure Hilfe ist super.. Wir werden da wohl noch weiter diskutieren müssen...
Das kann doch kein Grundschulkind realistisch schaffen, oder??

Roman-22

22:02 Uhr, 04.03.2018

Nochmals: Ich sehe bei der "Angabe", die du gepostet hast, nur eine Zeichnung und den Auftrag, darin Würfel zu zählen - mehr nicht!
Die Herausforderung für ein Grundschulkind mag dann darin bestehen, sich die versteckten Würfel vorzustellen und richtig mitzuzählen.

Die Formel der Freundin ist übrigens falsch. Sie liefert nur bei 5 Ebenen ein richtiges Ergebnis

(35)

. Die richtige Formel wurde dir doch schon genannt. Sie kann auf unterschiedliche Weise geschrieben werden, ist aber im Wesentlichen immer der gleiche Ausdruck

\frac{1}{6} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) = \frac{1}{6} n^{3} + \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{3} n

.
Der Ausdruck deiner Freundin vereinfacht sich zu

n^{2} + 2 n

und ist davon deutlich verschieden.
Du kannst es ja mit

3,4

oder 6 Etagen versuchen und feststellen, dass falsche Werte geliefert werden.

Nur der Klarheit halber: Klasse 4 bedeutet, dass deine Tochter ca.

10

Jahre alt ist und Knobel AG bedeutet, dass es sich um etwas Freiwilliges handelt, richtig?
Es mag schon auch einen elementareren Zugang zu der Formel geben, als den, den Edddi gezeigt hat. ich bin mir aber nicht sicher, wie weit in dieser Altersstufe der Umgang mit Variablen generell ausgeprägt ist.
Vielleicht wird ja auch nur eine Rekursionsformel als Lösung erwartet. Also etwa, dass bei einer Etage die Anzahl trivialerweise 1 ist und das sie beim Schritt von der n-ten zur nächsten Etage um

(1 + 2 + 3 + ... . + n + 1)

mehr wird. Ganz vife Schüler kommen dann, so wie man es sich von kleinen Gauß erzählt, vielleicht sogar drauf, dass es sich dabei um

\frac{1}{2} \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)

mehr Würfel als vorher handelt.

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