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Zerlegung zweier Vektoren parallel senkrecht

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: parallel, senkrecht, Skalarprodukt, Summe, Vektor, Vektorraum

HeKKlar aktiv_icon

21:05 Uhr, 22.04.2017

Guten Abend

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Zerlegen Sie

\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

in die Summe zweier Vektoren parallel bzw. senkrecht zu

\vec{w} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Mein Ansatz war bislang, dass

\vec{x} = \vec{a} + \vec{b}

.

So, des Weiteren soll

\vec{a}

orthogonal auf

\vec{w}

sein bzw.

\vec{b}

parallel zu

\vec{w}

.

Ich weiss, dass ein Vektor dann auf einem anderen Vektor senkrecht steht, wenn

< (\vec{a}, \vec{w}) > = 0

ist.
(Skalarprodukt

= 0)

Außerdem ist der

\vec{b}

dann parallel, wenn der

\vec{b} = λ \vec{w}

ist.

Bislang habe ich

< (\vec{a}, \vec{w}) > = 0

für

\vec{a}

Werte eingesetzt, sodass das Skalarprodukt 0 ergibt, also

\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})

< (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) > = 0

So und weiter weiss ich nicht, muss ich nun ein Gleichungssystem aufstellen und für

λ

einfach einen beliebigen Wert einsetzen und dann nach dem letzten gesuchten Vektor umstellen?

λ \vec{b} + (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})

Der wird ja dann nicht automatisch parallel sein, oder?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

21:37 Uhr, 22.04.2017

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = \vec{a} + \vec{b}

Sein

\vec{a} | | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{a} = (\begin{matrix} k \\ k \\ k \end{matrix})

\Rightarrow

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \\ k \\ k \end{matrix}) + \vec{b}

| \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} k \\ k \\ k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 0 \Rightarrow k = 2

\Rightarrow

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + \vec{b} \Rightarrow \vec{b} = . .

.

Und wenn alles klar ist

...

. Beispiel "abhaken".

HeKKlar aktiv_icon

22:12 Uhr, 22.04.2017

Leider verstehe ich deine Lösung nicht.

Wieso ist bei dir

\vec{a}

auf einmal parallel? er soll doch aber orthogonal auf

\vec{w}

stehen?
(zumindest sehen die Striche in deiner Formelgleichung so aus, als zeigten sie Parallelität an)

Ein paar kurze Worte, was du in jeder Zeile gemacht hast, wäre nett!

Respon

22:15 Uhr, 22.04.2017

"parallel bzw. senkrecht"
Es ist doch gleich, welcher nun parallel und welcher orthogonal ist.

rundblick aktiv_icon

22:35 Uhr, 22.04.2017

.
" Mein Ansatz war bislang, dass x→=a→+b→ .
So, des Weiteren soll a→ orthogonal auf w→ sein bzw. b→ parallel zu w→ .
Außerdem ist der b→ dann parallel, wenn der
b→=k*w→ ist."

also nun mit deinen Bezeichnungen die Lösung von R. etwas anders dargestellt

\to

\vec{a} = \vec{x} - k \cdot \vec{w}

\vec{a} = (\begin{matrix} 2 - k \\ 3 - k \\ 1 - k \end{matrix})

und mit

\to \vec{a} \cdot \vec{w} = 0 \Rightarrow

(\begin{matrix} 2 - k \\ 3 - k \\ 1 - k \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 0

\Rightarrow 2 - k + 3 - k + 1 - k = 0

also

\Rightarrow k = 2

und damit

\to (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

jetzt eh klar , HeKKlar ?
.

HeKKlar aktiv_icon

22:52 Uhr, 22.04.2017

Ok, es war so einfach und ich sah den Wald vor lauter Bäumen nicht, ich bedanke mich sehr!

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