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Zwei Geraden sollen sich schneiden

Schüler Kolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Parameter, Vektor

Nightdragon aktiv_icon

15:42 Uhr, 24.04.2012

Hallo,

ich komme bei meiner Hausaufgabe nicht weiter und erhoffe mir Hilfe:

Aufgabe: BEstimmen Sie den Scharparameter a so, dass die Geraden sich schneiden:

g_{a} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 6 \\ - 3 a \end{matrix})

h_{a} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 a \\ 4 \end{matrix})

Damit Geraden sich ja schneiden muss

g_{a} - h_{a}

eine Lösung haben.

Ich habe jetzt ein Gleichungssystem aufgestellt:

3 + 3 r = 1 + 2 s

4-6r=5+2as
2-3ar=4+4s

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

3 r - 2 s = - 2 I

-6r-2as=1 II
-3ar-4s=2 III

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

nun hab ich I mit 2 mulipliziert und zur II addiert, dass ich den Ausdruck für

s

rausbekomme:

s = (\frac{3}{4}) - (\frac{1}{2}) \cdot a \cdot s

Damit weiß ich nichts anzufangen und komme nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Nightdragon aktiv_icon

16:46 Uhr, 24.04.2012

mir kann doch sicherlich sagen, ob ich auf dem Holzweg bin oder wie es richtig weiter geht.

irena

17:16 Uhr, 24.04.2012

Hallo,
die Aufstellung des Gleichungssystems ist okay.
Am löst du die 1. Zeile nach

s

auf:

s = 1 + \frac{3}{2} r

und gehst damit in 2. und 3. Zeile
löst beide nach

r

auf

\to

dann erhälst du

a

rundblick aktiv_icon

17:35 Uhr, 24.04.2012

dein Ansatz mit dem Gleichungssystem ist schon richtig

. .

.

damit du mit etwas übersichtlicheren Werten rechnen kannt,
hier zuerst ein Tipp:

die beiden Richtungsvektoren kannst du zuallererst etwas "vereinfacht" notieren:

statt

(3; - 6; - 3 a)

nimm

\to (1; - 2; - a)

und statt

(2; 2 a; 4)

nimm

\to (1; a; 2)

dein System wird etwas übersichtlicher.. und die erste Gleichung sieht dann so aus:

3 + r = 1 + s .

. also

s = r + 2

setze dieses

s

in die neuen Gleichungen II und III ein
du bekommst zwei Gleichungen mit den Variablen

r

und a
löse dieses 2x2-System
fertig

prodomo aktiv_icon

17:40 Uhr, 24.04.2012

Das ist zunächst scheinbar einfach.Gleichsetzen ergibt

3 r - 2 s = - 2

-6r-2as=1
-3ar-4s=2

Ganz klassisch 2*Zeile

1 +

Zeile 2 ergibt -4s-2as=1, daraus

s = \frac{3}{2 a + 4}

Das in die zweite Zeile einsetzen, ergibt

r = \frac{- 2 a - 1}{a + 2}

. Jetzt wird es aber unheimlich:
beide in Zeile III einsetzen, liefert eine quadratische Gleichung für

a,

nämlich

a^{2} - 0,5 a - 5 = 0

. Die hat die Lösungen

a = 2,5

oder

a = - 2

. Setzt man

2,5

ein, so erhält man

r = - \frac{4}{9}

und

s = \frac{1}{3}

. Das gibt einen regulären Schnittpunkt.

a = - 2

aber liefert

r = \infty

und

s = \infty

. Es ergeben sich nämlich kollineare Richtungsvektoren, wie man leicht nachrechnet,

d

h

. die Geraden schneiden sich im Unendlichen. Nette Variante, ob der Autor der Aufgabe daran gedacht hatte ?

Nightdragon aktiv_icon

22:04 Uhr, 24.04.2012

herzlichen dank euch allen für die antworten. Ich habe jetzt erstmal rundblicks weg genommen, weil er mir am einfachsten erschien, aber ich glaube ich habe einen fehler gemacht.

Wenn

s

in II und III eingesetzt habe bekomme ich:

-1=2a+ar-2r
-6=ar+2r

die beiden gleichungen ziehe ich voneinander ab, so dass ich für

r = (\frac{1}{2}) a - (\frac{5}{4})

als Lösung erhalte. Ist das richtig?

rundblick aktiv_icon

01:19 Uhr, 25.04.2012

DU SCHREIBST:

Wenn

s

in II und III eingesetzt habe bekomme ich:

-1=2a+ar-2r
-6=ar+2r

ZITAT ENDE

\to

mit einem einzige anderen Vorzeichen , bekomme ich:

II) -1=2a+ar

+ 2 r

III) -6=ar+2r

(überprüfe bitte selbst bei II) das Vorzeichen von

2 r

bei deiner Rechnung

!)

so - und jetzt solltest du versuchen,
daraus eine einzige Gleichung mit zB nur noch dem a zu bekommen (also

r

eliminieren)

VORSCHLAG:

II) - ar

- 2 r = 1 + 2 a

III) - ar

- 2 r = + 6

da nun links beidesmal das Gleiche steht - müssen auch die Werte rechts gleich sein

\to

6 = 1 + 2 a

\to 2 a = 5 . .

\to a = \frac{5}{2}

FERTIG .. wenn du willst, kannst du für

a = 2,5

noch oben einsetzen,
um

r

und

s

zu finden und dann eben auch noch den Schnittpunkt anzugeben..
(nur, bei der Aufgabe war glaub eigentlich ja nur a zu ermitteln

. .)

und ganz nebenbei:
das Problem, das prodomo dir oben verkauft hat, taucht so gar nicht auf, denn
du brauchst keine Division durch

(a + 2)

zu machen ..
(prodomo hat ja fröhlich dividiert, ohne zu beachten, dass durch 0 zu teilen keine so gute
Idee ist - und dass deshalb

a = - 2

für die Lösungssuche ausgeschlossen ist,
bzw zB III)

0 \cdot r = 6

eh zu

k . L

. führen würde )
also ist der lustige Fall

a = - 2

hier überhaupt nicht relevant bzw. nicht zu bedenken.
..und es war auch nicht gefragt, für welches a sind die Geraden zueinander parallel..

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