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Zweite Unterstg bei Trigonometrischer Gleichung.?

Universität / Fachhochschule

Tags: mathe, Trigonometrie

mathegenie123 aktiv_icon

12:24 Uhr, 01.09.2014

Die Frage sollte heißen " Zweite Unterstützung bei Trigonometrischer Aufgabe benötigt!"

Ich habe folgende Aufgabe schon in einem anderen Forum gepostet und mir wurde etwas weitergeholfen. Aber ich habe dazu noch fragen.

Hier einmal der Link erstmal : www.matheboard.de/thread.php?threadid=544570

Aufgabe:

\sqrt{2} \cdot {sin}^{2} (x) + sin (x) = 0

Dann sollte ich einfach den Satz vom Nullpunkt anwenden (verstanden):

sin (x) \cdot (\sqrt{2} \cdot sin (x) + 1) = 0

sin (x) = 0

und

\sqrt{2} \cdot sin (x) + 1 = 0

x_{1} = k \cdot Π

und

sin (x) = - \frac{1}{\sqrt{2}}

x_{1} = k \cdot Π

und

x_{2} = - \frac{Π}{4} + k \cdot 2 Π

und dann ist hier noch die Rede von einer 2. Lösungsgruppe von

x_{2},

das verstehe ich nicht.

x_{1}

habe ich verstanden, aber

x_{2}

hab ich nicht verstanden und die 2. Lösungsgruppe von

x_{2}

hab ich auch nicht verstanden.

In meiner Werte-Tabelle für trigonometrische Funktionen, ist da 1. garnicht die Rede von

- \frac{Π}{4}

für den Wert von

- \frac{1}{\sqrt{2}}

. Bei mir stehen exakt zwei

x

Werte für

- \frac{1}{\sqrt{2}}

im Intervall von

[0; 2 Π]

. Und zwar einmal

\frac{5 Π}{4}

und zum anderen

\frac{7 Π}{4}

.

Ich bitte um etwas klarstellung damit ich in Zukunft weiß wie ich solche Aufgaben korrekt und ohne zweifel zu lösen habe.

Beste Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

anonymous

12:40 Uhr, 01.09.2014

Hallo
Am besten, du skizzierst dir mal einen Einheitskreis auf ein Blatt Papier,
und führts dir selbst vor Augen, welche Werte die Sinusfunktion unter den angesprochenen Winkeln annimmt:
Winkel=

- \frac{π}{4}

Winkel=

5 \cdot \frac{π}{4}

Winkel=

7 \cdot \frac{π}{4}

usw...

mathegenie123 aktiv_icon

12:46 Uhr, 01.09.2014

Ich habe hier ein sehr schönes passendes Bild gefunden.

Dennoch verstehe ich nicht warum bei jedem Wert einmal negativ dann positiv heraus kommt.

Siehe bild.

mathegenie123 aktiv_icon

12:51 Uhr, 01.09.2014

Wenn ich mir die Grafik so anschaue, glaube ich das der Winkel

- \frac{Π}{4}

und der Winkel

\frac{7 Π}{4}

den gleichen Winkel darstellen, nur anders herum abgelesen. Oder?

anonymous

13:25 Uhr, 01.09.2014

Ich weiß zwar nicht, was du mit
"den gleichen Winkel darstellen, nur anders herum abgelesen"
meinst.
Ich will aber Hoffnung walten lassen, dass du das richtige meinst.

Lass es mich in meine Worte fassen.

a)

Die Winkel

- \frac{π}{4}

7 \cdot \frac{π}{4}

15 \cdot \frac{π}{4}

23 \cdot \frac{π}{4}

oder auch

- 9 \cdot \frac{π}{4}

- 17 \cdot \frac{π}{4}

fallen bei der zeichnerischen Darstellung im Einheitskreis stets auf die selbe Linie, auf die selbe Darstellungsweise.
Folglich ist auch der Sinuswert all dieser Winkel der gleiche.

b)

Die Winkel

- 11 \cdot \frac{π}{4}

- 3 \cdot \frac{π}{4}

5 \cdot \frac{π}{4}

13 \cdot \frac{π}{4}

usw.
fallen bei der zeichnerischen Darstellung im Einheitskreis stets auf die selbe Linie, auf die selbe Darstellungsweise.
Folglich ist auch der Sinuswert all dieser Winkel der gleiche.

c)

Ferner gilt:
Der Sinus der unter

a)

genannten Winkel
ist gleich
dem Sinus der unter

b)

genannten Winkel.
Mathematisch ausgedrückt:

sin (\frac{π}{2} + x) = sin (\frac{π}{2} - x)

Aber viel verständlicher, als diese Formel oder auswendig lernen, finde ich, eben diese Skizze vom Einheitkreis zu skizzieren, und sich das ganz einfach vor Augen zu führen.

mathegenie123 aktiv_icon

13:38 Uhr, 01.09.2014

Ja ok, das habe ich verstanden. Vielen Dank.

Würde die endgültige Lösung dieser Aufgabe folgendermaßen lauten?:

x_{1} = k \cdot Π

x_{2} = \frac{5 Π}{4} + k \cdot 2 Π

x_{3} = \frac{7 Π}{4} + k \cdot 2 Π

L = {k \cdot Π, \frac{5 Π}{4} + k \cdot 2 Π, \frac{7 Π}{4} + k \cdot 2 Π}

Zweite Frage: Wie soll ich solche Aufgaben in der Prüfung lösen, wenn ich nicht meine Wertetabelle vor mir habe

: - (

. Das ist doch total schwer. Ich habe auch nicht alle Werte des Einheitskreises im Kopf.

anonymous

13:56 Uhr, 01.09.2014

Ja, die Lösung schaut gut aus.

Wenn du die Werte meinst:
sin(30°)= cos(60°)=

\frac{1}{2}

sin(45°)= cos(45°)=

\frac{\sqrt{2}}{2}

sin(60°)= cos(30°)=

\frac{\sqrt{3}}{2}

Diese 3 kann man einfach mal auswendig lernen. Mehr braucht man eigentlich nicht, bzw. erwartet keiner von einem auswendig.
Übrigens: die
sin(45°)= cos(45°)=

\frac{\sqrt{2}}{2}

ist ja ganz anschaulich/selbsterklärend aus dem gleichschenkligen Dreieck.

Wenn du mit "wenn ich nicht meine Wertetabelle vor mir habe" meinst, dass du gerne zu jedem sin-Wert den zugehörigen Winkel suchst, dann:
Mein Ratschlag war ja gerade, Taschenrechner, Wertetabelle und dergleichen zur Seite zu legen, und rein anschaulich qualitativ über den Einheitskreis Verständnis zu suchen.

Matlog aktiv_icon

14:04 Uhr, 01.09.2014

Zum "auswendig lernen" der Spezialwerte bietet sich ein kleiner Trick an:
Betrachte die speziellen Winkel 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Dann gilt:
sin(0°)=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{0} = 0

sin(30°)=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{1} = \frac{1}{2}

sin(45°)=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}

sin(60°)=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

sin(90°)=

\frac{1}{2} \cdot \sqrt{4} = 1

mathegenie123 aktiv_icon

15:00 Uhr, 01.09.2014

@ cositan

ja danke. Ist die Lösung wirklich richtig? " Schaut gut aus" hört sich noch etwas zweifelhaft an. :-)

@ matlog

Hamma. Das werde ich auf jeden Fall in Zukunft benutzen. danke^^!

mathegenie123 aktiv_icon

21:38 Uhr, 01.09.2014

Hallo? Kann mir jemand eine endgueltige antwort geben. "Schaut gut aus" hoert sich fuer mich noch etwas zweifelbehaftet an ;-).
Also bitte

. .

. :-)

anonymous

22:09 Uhr, 01.09.2014

Ja, wenn ich dein Korrektor wäre, würde ich dir (inzwischen)

100 %

der Punkte geben.
:-)

mathegenie123 aktiv_icon

12:26 Uhr, 03.09.2014

hahahha :-) Danke ;-)

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