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a so bestimmen, das Vektoren linear abhängig sind

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Parameter, Variabel a gesucht, Vektoren

Mathematik1 aktiv_icon

09:13 Uhr, 16.09.2012

Hallo,
meine Frage bitte aus dem Anhang entnehmen.
Wie kann ich das a bei drei Vektoren im Raum bestimmen, so dass diese linear abhängig sind.
Bei dem ersten Beispiel klappt es problemlos, bei dem zweiten jedoch nicht mehr. Lösung hierbei aus Lösungsbuch.
Danke für Lösungsvorschläge

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Underfaker aktiv_icon

09:51 Uhr, 16.09.2012

Es reicht zwei Vektoren anzugeben die nicht linear unabhängig sind, denn dann können wir den dritten mit Null multipliziert dazu addieren.

Nennen wir die Vektoren bspw.

s_{1}, s_{2}, s_{3}

s_{2}

und

s_{3}

sehen recht nett zum prüfen aus.

Wir schauen ob

0 \cdot s_{1} + k_{2} \cdot s_{2} = s_{3}

Wir erhalten:

- 3 k_{2} = a

- 3 k_{2} = a \Leftrightarrow k_{2} = \frac{a}{- 3}

k_{2} a = - 12

Eingesetzt:

- \frac{a}{3} \cdot a = - 12 \Leftrightarrow a^{2} = 36

also

a = \pm 6

je nachdem ob wir

a = 6

oder

- 6

wählen erhalten wir für

k_{2} - 2

oder 2

a = 6 \land k_{2} = - 2 :

0 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}) + (- 2) \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 12 \end{matrix})

s_{3}

lässt sich also als Linearkombination der anderen beiden Vektoren schreiben oder anders, wir finden so eine nichttriviale Lösung für:

k_{1} s_{1} + k_{2} s_{2} + k_{3} s_{3} = 0

Insgesamt:

s_{1}, s_{2}, s_{3}

linear abhängig für

a = \pm 6

Underfaker aktiv_icon

10:03 Uhr, 16.09.2012

Es sind noch andere Vorgehensweisen möglich, bspw. hätte man auch einfach

k_{1} s_{1} = s_{2}

prüfen können, dann erhalten wir

a = - 6

mit

k_{1} = - \frac{3}{4}

Mathematik1 aktiv_icon

17:49 Uhr, 16.09.2012

Danke für die Antworten.
In Antwort 1 ist in den ersten Zeilen noch ein kleiner Fehler,

a \cdot k 2 = a

nach meiner Rechnung, statt

k 2 \cdot 6 a = - 12

.
Sonst aber alles verstanden.

Underfaker aktiv_icon

17:59 Uhr, 16.09.2012

Oben war eine 6 zu viel und meine erste Umformung stand in der falschen Zeile, habe es korrigiert.

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