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abgeschlossene/offene Mengen in C[0,1]

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Mengentheoretische Topologie

Tags: abgeschlossen, Funktion, Mengentheoretische Topologie, Offen, supremumsnorm, Vektorraum

 
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LaDi20

LaDi20 aktiv_icon

10:53 Uhr, 22.05.2022

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Hi zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit metrischen Räumen und Teilmengen von C[0,1] (die Menge der stetigen reellwertigen Funktionen) und habe dazu zwei Aufgaben.

1. Zu zeigen: Y:={f[ℂ0,1]: ||f|| <= 1} abgeschlossen in C[0,1].
2. Ist T offen, abgesclossen, oder keins von beidem?
T:= {f[ℂ0,1]: f(0)=0}

Zu 1) Die Menge stellt ja quasi eine Normkugel dar, mit 1 als Radius, die die entspechenden Funktionen enthält, habe ich das richtig verstanden?
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält oder das Komplement offen ist, also C[0,1]\Y (ich nenne sie einfach mal U) offen.
Allerdings komme ich hier nicht wirklich weiter, weil ich mir irgnedwie nicht zusammenreimen kann, welche Aussagen ich über die Häufungspunkte von Y treffen kann... Und für das Komplement weiß ich nicht, ob ich die Menge richtig gebildet habe :
U={f[ℂ0,1]: ||f|| > 1} ?

Zu 2) Ein Häufungspunkt von T ist auf jeden Fall 0, aber über die restlichen Häufungspunkte kann ich keine Aussage treffen, weil die Funktionen ja alle anders aussehen und nicht zwangsläufig zum selben Funktionswert tendieren.
Muss ich das hier dann über das Komplement machen?

Vielen Dank für Eure Hilfe.
MfG LaDi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:25 Uhr, 22.05.2022

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Zu 1: www.onlinemathe.de/forum/abgeschlossene-Menge-Funktionen-mit-Supremum-1

"Zu 2) Ein Häufungspunkt von T ist auf jeden Fall 0"

Verstehst du, dass Häufungspunkte in diesem Fall Funktionen sind?

T ist abgeschlossen, weil aus fnf bzgl. Norm auch fn(0)f(0) folgt. Also T beinhaltet alle Grenzwerte der konvergierenden Folgen aus T => abgeschlossen.



Frage beantwortet
LaDi20

LaDi20 aktiv_icon

20:45 Uhr, 22.05.2022

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Super, vielen Dank! Den Thread habe ich nicht gefunden...

Zu 2) Ja, das war mir bewusst, ich konnte nur nicht so viel damit anfangen.
Aber jetzt habe ich es verstanden, dankeschön und einen schönen Abend
MfG