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cos(4pi/5) berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aditionstheoreme, Cosinus, Trigonometrie

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tk2023

tk2023 aktiv_icon

16:44 Uhr, 01.06.2023

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Hallo zusammen,

Ich versuche zu zeigen, dass

\cos (4 π / 5) = - \frac{\sqrt{5} + 1}{4}

ergibt. Dazu habe ich schon versucht einige Additionstheoreme anzuwenden, hat aber bisher nichts gebracht.
Ich habe das unten angehängte gefunden, da sind mir alle Schritte klar, außer der, wo dann

4 \cos^{3} (A)

benutzt wird. Woher kommt das hoch 3.

Vielen Dank euch.
Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

Online-Nachhilfe in Mathematik

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KL700

KL700 aktiv_icon

17:04 Uhr, 01.06.2023

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Hier findest du die Entstehung:

www.math-only-math.com/cos-3A-in-terms-of-A.html

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ledum

ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 01.06.2023

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Hallo
geometrisch ergibt es sich aus dem Fünfeck -
ledum

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ledum

ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 01.06.2023

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Hallo
geometrisch ergibt es sich aus dem Fünfeck -
ledum

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HAL9000

19:26 Uhr, 01.06.2023

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Eine weitere Möglichkeit läuft über das Kreisteilungspolynom

z^{5} - 1 = (z - 1) (z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1)

und weiter dann über die dritte binomische Formel

z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = {(z^{2} + \frac{z}{2} + 1)}^{2} - \frac{5}{4} z^{2} = (z^{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} z + 1) (z^{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} z + 1)

.

Andererseits folgt aus

z^{5} - 1 = \prod_{k = - 2}^{2} (z - e^{i k \frac{2 π}{5}})

durch Zusammenfassung der Linearfaktoren für

k = \pm 1

sowie für

k = \pm 2

z^{4} + z^{3} + z^{2} + z + 1 = (z^{2} - 2 \cos (\frac{2 π}{5}) z + 1) (z^{2} - 2 \cos (\frac{4 π}{5}) z + 1)

und damit dann über die Kosinuswert-Vorzeichen in den Quadranten die Zuordnung

\cos (\frac{2 π}{5}) = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{4}

und

\cos (\frac{4 π}{5}) = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{4}

.

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