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das ist ebend so, Abschätzung Wurzel

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Abschätzung, Betrag, Stetigkeit, Wurzel

tommy40629 aktiv_icon

11:02 Uhr, 20.08.2012

Hallo,

ich einige andere Studenten aus meinem Semester hatten schon wegen der Wurzel nachgefragt. Wir erhielten die Antwort; Das ist ebend so!

Ich habe überhaupt keine Lust im Mathestudium was auswendig zu lernen.

Warum die Wurzel "so komische Sachen macht" dafür gibt es einen Grund.

Kann mir das jemand erklären, gerne mit unmathematischen Vokabular??

Ich will das nur verstehen, kompliziert machen kann ich es dann selbst. (Oder ich frage nen Prof.)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

11:11 Uhr, 20.08.2012

Hallo,

1. fehlt hier mE eine konkrete Fragestellung oder ein Link dahin.
2. dient die mathematische Sprache der Exaktheit der Darstellung - zum Preis gestiegener Abstraktheit. Darum lernt man in den Anfängervorlesungen vor allem, das höhere Abstraktionsniveau zu erreichen. Das ist also ein Lernziel und nicht dazu da, dich zu ärgern (wie ich deinen Zeilen entnehme).
Trotzdem muss man da ein paar Sachen auswendig lernen, insbesondere, was Mathematik als Sprache anbelangt. Es ist dir sicher klar, dass man sich in jeder Sprache mit jemandem unterhalten kann, wenn er nur die Grammatik und ein Mindestmaß an Vokabeln drauf hat. Einfacher wird es aber, wenn sein Vokabular groß wird.
3. Du hast in dem einen völlig Recht: Hinter all dem in der Mathematik steckt immer ein Grund, eine Idee. Diese Idee bzw. die Hintergründe helfen sowohl zu verstehen als auch dabei, es sich insgesamt beim Lernen leichter zu machen.
Mathematik ist die Lehre vom Hintergrund der Dinge (nicht unbedingt nur vom Hintergrund der Zahlen oder des Rechnens). Insofern ist Auswendiglernen oder (Kampf-)Rechnen quasi das Gegenteil von Mathematik.

Der langen Rede kurzer Sinn: worum geht es genau?

Mfg Michael

EDIT: Jetzt sehe ich deine Fragestellung.
Bevor ich antworte, möchte ich dir nahelegen, vielleicht mehr zu investieren und wenigstens eine von mehreren Möglichkeiten zu lernen, Formeln in diesem Forum darzustellen.

Nun zur Gleichung:

∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣ \leq \sqrt{∣ x - y ∣} \overset{}{\Leftrightarrow} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \leq ∣ x - y ∣

Nun muss ich doch noch einmal nachfragen, worauf sich die Frage konkret bezieht?! Geht es um die Gültigkeit eines der Ungleichheitszeichen oder um die Äquivalenz?

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

11:24 Uhr, 20.08.2012

kann man das hochgeladene Bild nicht sehen??

tommy40629 aktiv_icon

11:28 Uhr, 20.08.2012

Das Problem ist, dass ich keinen Schimmer habe, wie man die gegebene Wurzel (ich mache die blau), in den Rest (mache ich rot) umwandelt?

tommy40629 aktiv_icon

11:31 Uhr, 20.08.2012

Ich würde erst mal mit (wurzel x) + (wurzel y) erweitern. Aber was danach...

michaL aktiv_icon

11:47 Uhr, 20.08.2012

Hallo,

sei mal

0 < y \leq x

, dann kann man auf die Betragsstriche verzichten. Den Fall

y = 0

kann man als Sonderfall betrachten.

Also: aus

y \leq x

folgt (ist sogar äquivalent)

\sqrt{y} \leq \sqrt{x} \overset{}{\Leftrightarrow} y = \sqrt{y} \cdot \sqrt{y} \leq \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \overset{}{\Leftrightarrow} 2 y \leq 2 \sqrt{x} \sqrt{y}

\overset{}{\Leftrightarrow} x + 2 y \leq x + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \overset{}{\Leftrightarrow} x - 2 \sqrt{x} \sqrt{y} + y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \leq x - y

Damit bewiesen:

(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \leq x - y

Die Gültigkeit der ersten Ungleichung erhält man nun aus der Gültigkeit dieser Ungleichung, indem du die Wurzel ziehst. Warum ist das statthaft?
Nun, die Wurzelfunktion ist monoton, d.h. aus

0 \leq a < b

folgt

\sqrt{a} < \sqrt{b}

.

Mfg Michael

PS: Ich hoffe, dass dies die Frage beantwortet, da ich eigentlich immer noch nicht verstanden habe, worum es genau geht...

tommy40629 aktiv_icon

11:58 Uhr, 20.08.2012

In meinem hochgeladenen Bild steht ja;

$| \sqrt{x} - \sqrt{y} | =$

Alles das, das rechts vom = Zeichen steht verstehe ich nicht.

Ich weiß nicht, wie ich aus $| \sqrt{x} - \sqrt{y} |$ diese 2 Äquivalenzen "zaubern" soll??

Du hast ja das geschrieben:
Also: aus $y \leq x$ folgt (ist sogar äquivalent) $\sqrt{y} \leq \sqrt{x} \overset{}{\Leftrightarrow} y = \sqrt{y} \cdot \sqrt{y} \leq \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \overset{}{\Leftrightarrow} 2 y \leq 2 \sqrt{x} \sqrt{y}$
$\overset{}{\Leftrightarrow} x + 2 y \leq x + 2 \sqrt{x} \sqrt{y} \overset{}{\Leftrightarrow} x - 2 \sqrt{x} \sqrt{y} + y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2} \leq x - y$

$y \leq x$ folgt (ist sogar äquivalent) $\sqrt{y} \leq \sqrt{x} \overset{}{\Leftrightarrow} ....$

$Ich kann zwar lesen, was da steht, aber warum und wie man darauf kommt, da habe ich keine Idee.$

michaL aktiv_icon

12:02 Uhr, 20.08.2012

Hallo,

hm, man "zaubert" sicher aus einem Term keine zwei Ungleichungen.
Solange du nicht das Original postest, wird das ein fröhliches Rätselraten.

Zu meinen Umformungen:
Welche davon verstehst du nicht?

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

12:13 Uhr, 20.08.2012

Wenn man was gerade in Mathe nicht versteht, dann siehts immer wie Magie aus. Klingt jetzt lustig, ist aber eher zum heulen.

Original?? $| \sqrt{x} - \sqrt{y} |$

$Unser ANA Prof macht das auch, er hat so einen kleinen Ausdruck dastehen, schreibt = und dann kommt eine Ungleichung, also Abschätzung, die über 2 Tafeln geht.$

$Auch Abschätzungen funktionieren nach irgend einer sicher leicht nachvollziehbaren Logik. Aber wenn man das nicht kennt, dann kann man nicht abschätzen, und versteht, so wie ich diese Dinge überhaupt nicht.$

michaL aktiv_icon

12:22 Uhr, 20.08.2012

Hallo,

ok, ich geb dann noch mal meine abschließende Meinung dazu: Ich nehme an, der Prof wollte den Term

∣ \sqrt{x} - \sqrt{y} ∣

abschätzen gegen

\sqrt{∣ x - y ∣}

. Zum Beweis der Gültigkeit hat er die quadrierte Ungleichung aufgeschrieben (die, deren Gültigkeit ich überprüft hab).

Mfg Michael

tommy40629 aktiv_icon

12:25 Uhr, 20.08.2012

Das war in einer Übungsgruppe und der Leiter sagte, das man die Wurzel ebend so schreiben kann, das ist halt so.

Ich nehme das morgen einfach mit zur Nachhilfe und hoffe dann auf Erleuchtung.

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