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dritte Wurzel aus k ganz sein muss, wenn rational

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie

LittleSunshine90 aktiv_icon

18:39 Uhr, 13.01.2011

Hallo!

Ich soll folgendes Beweisen, hab auch schon einen Ansatz. Mir kommt aber das Beispiel viel zu simpel vor.

Sei k eine ganze Zahl. Zeige, dass die drittel Wurzel aus k ganz sein muss, wenn sie rational ist.

Mein Beweis:

$\sqrt[3]{k} = \frac{a}{b}$ mit a aus Z, und b aus Z

daher a/b aus Z, und daher auch die drittel Wurzel aus Z

Das ist ein Prüfungsbeispiel im Fach Zahlentheorie.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

20:00 Uhr, 13.01.2011

Hallo,

was für ein Quatsch (Entschuldige bitte die Offenheit.).

Willst du etwa aus

a \in ℤ

und

b \in ℤ

auch

\frac{a}{b} \in ℤ

folgern?
Da hätte ich ein Gegenbeispiel (wonach ich wirklich lange suchen musste...).

Wenn dies eine Aufgabe aus der Zahlentheorie ist, reicht vermutlich die Betrachtung der Primfaktorzerlegungen von

a, b

und

k

.

Mfg Michael

LittleSunshine90 aktiv_icon

20:51 Uhr, 13.01.2011

lool!

ja, da hast du recht! :D wie peinlich!

lern heute schon den ganzen tag ... sollt mal wieder ne pause machen, dann kommt nicht so ein schwachsinn raus ;)

kannst du mir weiterhelfen?

michaL aktiv_icon

21:04 Uhr, 13.01.2011

Hallo,

habe ich schon sachte versucht.
Probiere mal, dir Gedanken über die Primfaktorzerlegung natürlicher Kubikzahlen Gedanken zu machen. Dann kanste an die Gleichung

k^{\frac{1}{3}} = \frac{a}{b}

zur dritten Potenz erheben und den Bruch auflösen, damit du in den ganzen Zahlen bist. Tja, dann ist es wirklich nicht mehr weit.

Mfg Michael

LittleSunshine90 aktiv_icon

16:28 Uhr, 14.01.2011

Also gut, probier ichs mal, und hoffe ich blamier mich nicht wieder ;) weiß aber leider nicht wie ich weiter argumentieren könnt =/

$\sqrt[3]{k} = \frac{a}{b} = \prod_{p \in I P} p^{\frac{ν_{p}}{3}}$

$a^{3} = \prod_{P \in I P} p^{ν_{p}} * b^{3}$

michaL aktiv_icon

18:31 Uhr, 14.01.2011

Hallo,

man beginnt wie bei Quadratwurzeln, indem man feststellt, dass eine natürliche Zahl genau dann eine dritte Potenz ist, wenn jeder ihrer Primfaktoren in einer Potenz auftritt, die ein Vielfaches von 3 ist.
Oder das gleiche in Mathe (weniger missverständlich und kürzer):

x = k^{3}

für ein

k

genau dann, wenn

\forall p ∣ x

(

p

prim):

3 ∣ max {v \in ℕ ∣ p^{v} ∣ x}

Beweis dürfte klar sein.

Damit beweist man: Ist die dritte Wurzel

k^{\frac{1}{3}}

einer ganzen Zahl

k

rational, dann ist sie schon ganz.
Sei also

k^{\frac{1}{3}}

rational, d.h. es existieren teilerfremde

a, b

mit

k^{\frac{1}{3}} = \frac{a}{b} \overset{}{\Leftrightarrow} k = \frac{a^{3}}{b^{3}} \overset{}{\Leftrightarrow} a^{3} = k b^{3}

. (*)

Bis hier ging mein Tipp eigentlich deutlich. Ab hier musst du nun mit der Primfaktorzerlegung arbeiten und schließen, dass

k

selbst eine Kubikzahl ist. Dazu verwendet man die Gleichung (*).

Versuch mal dein Glück!

Mfg Michael

PS: Ich kann per LaTeX keine anderen als Quadratwurzeln darstellen, daher die Schreibweise

k^{\frac{1}{3}}

für die dritte Wurzel!

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