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e-Funktionen

Schüler Gymnasium,

Tags: e-Funktion

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22:18 Uhr, 17.03.2014

Bei eiem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug. Anschließend wird die zeitlice Änderungsrate der Blutalkoholkonzentration

(

in Promille pro Minute ) aufgezeichnet. Diese wird im hier verwendeteten Modell durch eine Funktion

f'

mit der Gleichung

f' (t) = \frac{1}{60} e^{- \frac{1}{20} t} - \frac{1}{600}

beschrieben. Dabei ist

t

die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. Beispielsweise bedeutet

f' (t) = 0,01

eine zeitliche Änerungsrate der Blutalkoholkonzentration von

0,01

promille pro Minute.

a) (1)

Berechnen Sie

f' (0)

und

f' (140),

ermitteln sie das Monotonieverhalten der Funktion

f'

und zeigen Sie, dass

t =

20ln(10) die einzige Nullstelle von

f'

ist.

f' (0) = - \frac{1}{600}

f' (140) = - 0,002

f'' (t) = - \frac{1}{1200} e^{- \frac{1}{20} t} < 0,

z . B

f'' (140) = - 0,000000759 < 0

.

Also fällt die Funktion

f'

streng monoton.

Bei der Nullstellenberechnung habe ich ein kleines Problem.

- \frac{1}{60} e^{- \frac{1}{20} t} - \frac{1}{600} = 0 | + \frac{1}{600}

- \frac{1}{60} e^{- \frac{1}{20} t} = \frac{1}{600} | (- \frac{1}{60})

e^{- \frac{1}{20} t} = - \frac{1}{10} | ln

- \frac{1}{20} t = ln (10)

t =

20ln(10)

Meine Frage ist wo das Minuszeichen bei

t =

20ln(10) von "

- \frac{1}{20}

" geblieben ist?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Aurel

22:40 Uhr, 17.03.2014

die Angabe lautet

f' (x) = + \frac{1}{60} \cdot ... ...

.

und nicht

f' (x) = - \frac{1}{60} \cdot ... ...

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22:47 Uhr, 17.03.2014

achso.

dann

e^{- \frac{1}{20} t} = \frac{1}{10} | ln

- \frac{1}{20} t = - ln (10) | : (- \frac{1}{20})

t =

20ln(10)

und wegen dem

\frac{1}{10}

macht man

- ln (10)

oder?

Aurel

22:50 Uhr, 17.03.2014

ja, so ist's richtig :-)

und

ln (\frac{1}{10}) = ln (10^{- 1}) = (- 1) \cdot ln (10)

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23:04 Uhr, 17.03.2014

c)

Aus biologischen Gründen wird nach

140

Minuten die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson durch die Funktion

f

nicht mehr beschrieben. Für die Modellierung besser geeignet ist die an der Stelle

t = 140

zusammengesetzte Funktion

h

mit der Gleichung

h (t) = f (t), 0 < t > 140

g (t), t > 140

wobei

g (t) = u \cdot e^{- v \cdot t}

mit

u = 1,01357, v = 0,01657

gilt.

(1)

Berechnen Sie, nach wie viel Minuten in diesem Modell die Blutalkoholkonzentration erstmals unter

0,01

Promille gesunken ist.

(2)

Begründen Sie, warum die Beschreibung der Blutalkoholkonzentration durch die Funktion

f

nicht für beliebige Zeiten

t > 140

möglich ist. Begründen Sie, warum im Gegensatz dazu die Modellierung durch die Funktion

h

für

t > 140

sinnvoller ist.

Kannst du mir da helfen?

Aurel

23:21 Uhr, 17.03.2014

(1)

löse die Gleichung:

0,01 = 1,01357 \cdot e^{- 0,01657 \cdot t}

\Rightarrow t = ... .

Aurel

23:30 Uhr, 17.03.2014

(2)

du hast

f' (t)

gegeben

berechne durch Integration

f (t)

dann sieht man, für größere

t

fällt

f (t)

annähernd linear, der Blutalkoholspiegel fällt aber vermutlich nicht linear sondern exponentiell, daher dann bessert

g (t)

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23:35 Uhr, 17.03.2014

t = 279

bei

(2)

habe ich geschrieben:

Die Beschreibung der Blutalkoholkonzentration durch die Funktion

f

ist nicht für beliebige Zeiten möglich, weil

z . B

f (200) = - 0,000015

gilt. Denn negative Werte in der Konzentration können nicht existieren.

g (t),

im Gegensatz, beschreibt die Blutalkoholkonzentratio viel eher, da

z . B

g (200) = 0,036

gilt. Für

t > 140

entstehen positive Werte.

Aurel

23:47 Uhr, 17.03.2014

(2)

wie konntest du

f (200)

berechnen

f (t)

ist ja nicht gegeben

aber du hast recht, dass die Konzentration bei

f (t)

irgendwann negativ wird

das sieht man auch hier:

lim_{t \to \infty} f' (t) = - \frac{1}{600},

die Änderungsrate ist also für große

t

negativ, was irgendwann dazu führt, das

f (t)

ebenfalls negativ wird

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00:06 Uhr, 18.03.2014

Wenn die Infusion nach tE Stunden abgebrochen wird, nimmt die Wirkstoffkonzentration des Medikaments im Blut ab. Modellhaft wird angenommen, dass unmittelbar nach Abbruch der Infusion die Abnahme der wirkstoffkonzentration beginnt.
Die Wirkstoffkonzentration kann jetzt durch die Funktion

g

mit der Funktionsgleichung

g (t) =

f(tE) *e^(-0,25*(t-tE) beschrieben werden.
Um 1 Uhr des nächsten Tages wird die Infusion abgebrochen.

b (1)

Zeigen Sie, dass

g (t) = 804 \cdot e^{- 0,25 t}

die Wirkstoffkonzentration für

t > 16

näherungsweise beschreibt.

g (t) = f (16) \cdot e^{- 0,25 \cdot (t - 16)}

= f (16) \cdot e^{- 0,25 t} \cdot e^{4}

weiter weiß ich nicht.

(2)

Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Änderung der Wirkstoffkonzentration für

t > 16

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel Prozent der Betrag der Änderung der Wirkstoffkonzentration des Medikaments am

16

. April von 4 Uhr bis 5 Uhr abnimmt.

pleindespoir aktiv_icon

00:31 Uhr, 19.03.2014

"... leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug"

Na zum Glück nicht in einem Auto !

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