Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » elliptisches Integral in Taylorreihe entwickeln

elliptisches Integral in Taylorreihe entwickeln

Universität / Fachhochschule

Tags: elliptische Integrale, Taylorreihenentwicklung

Antworten

Neue Frage stellen

Im Forum suchen

Neue Frage

blalala

blalala aktiv_icon

23:54 Uhr, 12.05.2014

Antworten

Hallo, ich bin neu hier und krieg es leider nicht hin, den Formeleditor zu benutzen.
Ich hoffe ihr versteht mich trotzdem :-)
Also ich beschäftige mich momentan mit der Aufgabe, dass vollständige elliptische Integral 1. Gattung

E (k) = \int_{0}^{\frac{π}{2}}

(1-k^2sin^2(t))^(-1/2)dt als Funktion von

k

in eine Taylorreihe zu entwickeln.
Wie haben den Hinweis bekommen, die binomische Reihe zu verwenden.
Ich habe also die Funktion umgeformt zu

E (k) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot k^{2 n} \cdot {sin}^{2 n} (t) d t

.
Da die Reihe gleichmäßig konvergiert(Majorantenkriterium mit

k^{2 n}),

gilt

E (k) = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot k^{2 n} \cdot {sin}^{2 n} (t) d t

.
Nun weiß ich aber leider nicht weiter, da ich es nicht hinkriege

{sin}^{2 n} (t)

zu integrieren.
Kann mit jemand dabei helfen? :-)

Vielen Dank schonmal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

07:29 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Z.B. so, mit partieller Integration:

\int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n} (x) d x = \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 1} (x) \sin (x) d x = - \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 1} (x) (\cos (x))^{ʹ} d x =

= [\sin^{2 n - 1} (x) \cos (x)]_{0}^{π / 2} + \int_{0}^{π / 2} (\sin^{2 n - 1} (x))^{ʹ} \cos (x) d x = 0 + (2 n - 1) \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 2} (x) \cos^{2} (x) d x =

= (2 n - 1) \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 2} (x) (1 - \sin^{2} (x)) d x = >

\int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n} (x) d x = (2 n - 1) \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 2} (x) d x - (2 n - 1) \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n} (x) d x = >

\int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n} (x) d x = \frac{2 n - 1}{2 n} \int_{0}^{π / 2} \sin^{2 n - 2} (x) d x

und weiter Induktion.

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

09:47 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Die Substitution

\sin (x) = y

macht es auch, übrigens.

blalala

blalala aktiv_icon

13:41 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Ich habe nun

\int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{2 n} (x) d t = \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \frac{2 n - 3}{2 n - 2} \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}

Wenn man dies einsetzt erhält man ja dann

E (k) = \frac{π}{2} \sum_{0}^{\infty} (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{n} \cdot k^{2 n} \cdot \frac{2 n - 1}{2 n} \cdot \cdot \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}

Aber wie erhalte ich hierraus eine taylorreihe? Also eine Reihe habe ich ja jetzt schon aber wie kann ich sie jetzt zur Taylorreihe umformen?

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:52 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Das ist die Taylorreihe (um

k = 0

).

blalala

blalala aktiv_icon

14:20 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Ich habs schon vermutet..
aber warum ist das genau die taylorreihe?
Eine Taylorreihe hat ja eigentlich die Form

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{k} (t)}{k!} \cdot {(x - t)}^{k}

Aber die erkenne ich bei meiner Lösung gar nicht wieder.

Antwort

DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Zuerst mal ist hier

t = 0

, also es geht um die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}

.
Und dann gilt Folgendes: wenn wir eine Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

haben, welche in einer Umgebung

(- a, a)

für

a > 0

konvergiert, dann kann man sie dort beliebig oft ableiten und bekommen

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n})^{(k)} (0) = k! a_{k}

.
Also haben mit der Bezeichung

f (x) := \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

die folgende Gleichung:

f^{(k)} = k! a_{k}

, also

a_{k} = \frac{f^{(k)} (0)}{k!}

.
Damit ist unsere Reihe automatisch die Taylorreihe:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}

.

Siehe auch hier:
http//www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/taylorreihe.pdf

Frage beantwortet

blalala

blalala aktiv_icon

15:05 Uhr, 13.05.2014

Antworten

Stimmt, das klingt logisch.

Vielen Dank für die hilfe :-)

1165146

1165023