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exponentielles Wachstum: Aufgabe

Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe

Tags: exponentiell, Frage, Mathematik, Wachstum

Doug90 aktiv_icon

12:55 Uhr, 10.03.2009

Hey Mathegenies^^,

wir haben vor kurzem mit dem Thema "exponentielles Wachstum" begonnen und scho wieder fangen die Probleme an^^.

Ich geb euch am besten mal die Aufgabe, die wir lösen sollen. Wenn ich den Lösungsweg verstanden habe, habe ich wieder einen Anschluss an den restlichen Stoff. Ich möchte von euch erstmal nicht die Lösungen, sondern nur den Lösungsweg nd Tipps. Vielen Dank schonmal! Hier die Aufgabe:

Ein radioaktives Material zerfällt in zehn Jahren mit einem Anteil von

16 %

1990

betrug die Masse

100 g

.

a)Wie lautet die Funktionsgleichung?
b)Stelle eine Wertetabelle mit den Zeilen Jahre, Zeit

(t),

Gramm und

f (t)

auf
c)Ermittele die Halbwertzeit.

So, eins nach dem anderen:
zu

a)

Die Gleichung müste ja die Form haben:

f (t) = a \cdot e^{k} \cdot^{t}

. Ist

a = 100

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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12:58 Uhr, 10.03.2009

Soweit ich weiß ja.

f(0) = a -> a = 100

Doug90 aktiv_icon

13:16 Uhr, 10.03.2009

gut, also haben wir:

f (t) = 100 \cdot e^{k} \cdot^{t}

Ist

t = 10

?
und wie komme ich auf k?

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14:05 Uhr, 10.03.2009

Je nachdem welchen Abstand zu nimmst, wenn du sagst
> t entspricht 10 Jahren, wäre es 1
> t entspricht 1 Jahr, wäre es 10

Verstanden?

Als Tipp, du hast die Folgende Information noch nicht genutzt, dass nach 10 Jahren 16% des Bestandes zerfallen (84% sind noch übrig).

Schau mal ob du damit weiterkommst.

Doug90 aktiv_icon

15:31 Uhr, 10.03.2009

Je nachdem welchen Abstand zu nimmst, wenn du sagst

> t

entspricht

10

Jahren, wäre es 1

> t

entspricht 1 Jahr, wäre es

10

ne sry, das verstehe ich nicht^^. Kannst du mir das bitte näher erläutern oder anders formulieren?

t

ist doch die zeit, und

10

jahre ist eine zeitangabe. warum kann ich die

10

also nicht nehmen?

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16:57 Uhr, 10.03.2009

Ich weiß nicht was du später für Angaben brauchst, aber wenn du bsp ausrechnen müssts was der Wert 1993 Wäre, wäre es ungünstig zu sagen das 10 Jahre einem Zeitschritt von "1"
entspricht.

Je nachdem welche weiteren Werte du später errechnen musst muss man t gescheit wählen :-)

Verstanden?

In deinem Fall würde ich sagen das 1 Jahr einem Zeitschritt von 1 entspricht, also 10 Jahre = f(10)

(Das war gemeint, für andere Aufgaben später mal rechnen sollst :-))

Doug90 aktiv_icon

17:05 Uhr, 10.03.2009

aso

k \land

also gut bis jetzt sind wir so weit:

f (t) = 100 \cdot e^{k} \cdot^{10}

e

muss ja nicht errechnet werden, weil es ja einen festen Wert hat, oder?
Wie siehts mit

k

aus? Wie wird das ausgerechnet?

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17:09 Uhr, 10.03.2009

e

ist die eulersche Zahl

e = 2, 718281828459

und muss demnach nicht errechnet werden.

Welche andere Information hast du, die du noch nicht benutzt hast? :-)

f (t) = 100 \cdot e^{k \cdot 10}

ist nicht so ganz richtig.

Ein radioaktives Material zerfällt in zehn Jahren mit einem Anteil von 16%. 1990 betrug die Masse 100g.

Wieviel von den 100g sind den nach 10 Jahren noch vorhanden; NICHT zerfallen?
Dadurch erhälst du den Wert f(10) = X (Lösung nach 10 Jahren)

Setzt du diese Werte in deine Formel

f (t) = 100 \cdot e^{k \cdot t}

ein kannst du errechnen?

weißt du wie dass geht?

Doug90 aktiv_icon

17:13 Uhr, 10.03.2009

"Ein radioaktives Material zerfällt in zehn Jahren mit einem Anteil von

16 %

1990

betrug die Masse 100g."

Also die

16 %

habe ich noch nicht verwendet. das müsste ja

p

sein. bei

k > 0 : e^{k} = (1 + \frac{p}{100})

und bei

k < 0 : e^{k} = (1 - \frac{p}{100})

bzw das ganze mit

ln

. aber woher weiß ich, ob

k < 0

oder

k > 0

? ich muss das doch erst ausrechnen... komisch^^

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17:16 Uhr, 10.03.2009

Wieviel von den 100g sind den nach 10 Jahren noch vorhanden?(NICHT zerfallen^^)

und setz die Werte dann ein. (siehe beitrag davor :-))

Doug90 aktiv_icon

18:00 Uhr, 10.03.2009

es sind

84 %

noch nicht zerfallen. also ist diese zahl p? und ist

k

jetzt

>

oder

<

als 0? das muss ich doch wissen, um das berechnen zu können...

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19:05 Uhr, 10.03.2009

du kannst ausrechnen wieviel nicht zerfallen sind
84% von 100g

Doug90 aktiv_icon

19:16 Uhr, 10.03.2009

also nach zehn jahren sind

84 g

noch heile. also bedeutet das

k > 0

? oder was bringt mir diese information?

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19:27 Uhr, 10.03.2009

Du kannst nun diesen Wert einsetzen um k zu erhalten

f (10) = 84 = 100 \cdot e^{k} \cdot 10

-> nach k auflösen. :-)

Kriegst das hin?

Doug90 aktiv_icon

21:59 Uhr, 11.03.2009

so, erstmal vielen dank für deine Hilfe, du hast mich weitergebracht. Leider muss ich die Aufgabe bis morgen fertig haben und werde den Rest der Aufgabe entweder morgen abschreiben (pöse!!!^^) oder die Lehrerin fragen, die leider eher empfindlich auf fragen reagiert, durch die klar wird, wenn jemand etwas nicht verstanden hat^^.

ich muss aber an diesem thema dranbleiben, weil ich in der nächsten arbeit ne gute note brauche, und werde weitere fragen wohl hier veröffentlichen^^ also vielen dank nochmals!!!

Smartiekaugummi aktiv_icon

23:13 Uhr, 11.03.2009

Mir hats auch geholfen XD
schreib nächsten Dienstag ne Arbeit drüber und war ne gute Wiederholung, bin sonst zwar auch ned soo die leuchte in Mathe aber Wachstumsdinger hab ich eig verstanden (:
Freut mich dass es dir geholfen hat, und mal sehen ob man dir in zukunft auch helfen kann ;D

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