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f diffbar, nur endlich viele Nullstellen
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Tags: Differentiation, Funktion
 
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Sei auf differenzierbar. Es gelte: Man zeige, dass in nur endlich viele Nullstellen hat. Die einzige Möglichkeit für unendlich viele Nullstellen wäre, wenn wäre, dann wäre aber auch und damit die Summe ein Widerspruch zur Voraussetzung. Famit kann in dem Intervall nur gelten, was hieße, dass es in diesem Intervall 0 Nullstellen und damit nur endlich viele gäbe... Frage: Ist das wirklich so einfach oder habe ich viel übersehen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Deine Idee ist falsch, denn ist lange nicht die einzige Möglichkeit für unendlich viele Nullstellen. Denn das Intervall enthält (falls und das ist hier gemeint) unendlich viele Zahlen! Ich würde die Aussage per Widerspruch beweisen. Also nehme an hat unendlich viele Nullstellen und versuche daraus einen Widerspruch zu konstruieren. Tipp: Satz von Bolzano-Weierstraß |
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Hallo Shipwater, erstmal danke für deine Antwort. Ich kann deinem Einwand gut folgen, muss aber sagen, dass er nicht (zwingend) beweist, dass meine Idee falsch ist (so sehe ich das zumindest), denn ich hatte ja behauptet, dass unter OBIGER Vor. die Nullfunktion die einzige Kandidatin ist um bei f unendlich viel Nullstellen hervorzurufen, das habe ich ja durch meine Fallunterscheidungen dargestellt. Meine Frage war, was unter meinen Fallunterscheidungen falsch ist? Wenn , dann muss ja immer oder sein (in dem Intervall). Dazu führen ja die Betragsstriche. Ich sehe leider nicht was ich da falsch gemacht haben könnte. Kannst du mir das kurz noch erklären? :-) |
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Welche Fallunterscheidungen? Es stimmt einfach nicht, dass die einzige Möglichkeit für unendlich viele Nullstellen ist. Nimm das Intervall dann hat zum Beispiel auch folgende (von der Nullfunktion verschiedene) Funktion unendlich viele Nullstellen: |
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Ja, aber ich meinte die Voraussetzung, dass gelten muss. Ist schon klar, dass in einem von der Länge 0 verschiedenen Intervall es auch andere Funktionen als die Nullfunktion gibt, die unendlich viele Nullstellen hat. Ich meinte, dass obige Bedingung die Sache erheblich einschränkt... |
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Ist denn nun > 0 oder gefordert? Das hast du jetzt unterschiedlich gepostet. Edit: Sorry, das war Schwachsinn, beides ist natürlich äquivalent. |
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Es ist gefordert. |
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Momentmal, die Summe von Beträgen ist stets größer 0, wenn sie nicht gleich 0 sein darf. In der Angabe steht , ich schloss daraus |
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Ja, war mir auch noch aufgefallen ;-) Hatte meinen Beitrag schon editiert. Zu deinem Beitrag davor. Wie begründest du denn, dass alle Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen durch die Bedingung ∣f(x)∣+∣f´(x)∣>0 rausfliegen? Das kannst du doch nicht so einfach postulieren, denn genau das sollst du ja zeigen. Für nicht kompakte Intervalle ist die Aussage übrigens nicht richtig. |
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Ich muss also zeigen, dass, wenn es unendlich viele Nullstellen gibt bei , dass dann sowohl als auch für alle ist. Wäre nämlich einer von beiden ungleich 0, dann wären die Summe der Beträge größer 0, was dem Kontrapositionsprinzip widersprechen würde. Es reduziert sich also zu zeigen, dass gilt womit wir wieder bei unserer Nullfunktion wären... :/// Was mach ich da falsch? irgendwie verwirrt mich das :( |
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Nein. Zu zeigen ist, wenn unendlich viele Nullstellen hat dann gibt es ein mit . |
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Diese Frage muss noch sein: Meinst du irgendein festes ? Oder meinst du, dass das für alle Werte gelten muss? |
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Ersteres natürlich. Schau dir nochmal an wie man Aussagen negiert. Die Negation von "Jeder Mensch lacht gerne" ist doch auch "Es gibt einen Menschen, der nicht gerne lacht" und nicht "Kein Mensch lacht gerne". Du darfst "Negation" nicht mit dem, was man üblicherweise unter "Gegenteil" versteht, verwechseln. |
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Hallo Shipwater, etwas zu deinem Hinweis: Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt doch nur, dass beschränkte FOLGEN mindestens einen Häufungspunkt besitzen. Natürlich könnte man nun eine Restriktion von auf vornehmen, um den kontinuierlichen Graphen in eine Folge zu verwandeln, doch passiert hier ein unangenehmer Widerspruch zur Annahme, denn dann verschwinden doch die unendlich vielen Nullstellen. Die Nullfunktion hätte auf dem Intervall etwa lediglich maximal Nullstellen, wenn sie als Folge aufgefasst werden würde... Du hast vermutlich den Satz verwechselt mit dem Mittelwertsatz - genauer - dem Satz von Rolle. Da es unendlich viele gibt mit gibt es nach dem Satz von Rolle auch unendlich viele sodass Jetzt fehlt "nur noch" ein Argument dafür, dass das genau die sind, wo auch gilt. Rein anschaulich ist jedoch klar, dass in einem beschränkten Intervall nur dann unendlich oft eine waagrechte Tangente an einen Graphen gezeichnet werden kann, wenn es immer wieder Intervalle gibt, sodass gilt. Kann mir da jemand einen Tipp für ein formales Argument geben? |
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Da Shipwater gerade nicht da ist, antworte ich mal: "Du hast vermutlich den Satz verwechselt mit dem Mittelwertsatz - genauer - dem Satz von Rolle. " Grundsätzlich solltest du erstmal davon ausgehen, dass das nicht passiert ist und du den Hinweis bloß nicht richtig umsetzen konntest ;-) Wenn unendlich viele Nullstellen hat, gibt es eine Folge von Nullstellen von . Darauf einmal Bolzano Weierstraß und selbst weiter überlegen. "Rein anschaulich ist jedoch klar, dass in einem beschränkten Intervall nur dann unendlich oft eine waagrechte Tangente an einen Graphen gezeichnet werden kann, wenn es immer wieder Intervalle [u,v]⊆[a,b] gibt, sodass f´(x)=f(x)=0∀x∈[u,v] gilt." NEIN, das ist falsch. Ich sagte dir doch oben, dass man bei einem nicht kompakten Intervall Gegenbeispiele findet. Ich finde es schade, dass du das offensichtlich garnicht wahrgenommen hast. Was ist zum Beispiel mit . Das Intervall ist beschränkt, die Funktion ist differenzierbar, es gibt keinen Punkt mit und hat außerdem unendlich viele Nullstellen. |
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Ohh :O Eine ganz blöde Frage mal an dein Gegenbeispiel: Wenn man das Intervall nehmen würde, dann gäbe es schon einen Punkt , sodass gilt, oder? |
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Die Funktion ist in bei beliebiger Fortsetzung garnicht stetig geschweige denn differenzierbar. |
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Sry, Apfelkonsument, aber jetzt bin ich verwirrt. Das müsste jetzt aber dann ein Gegenbeispiel zu der zu beweisenden Aussagen liefern, oder? Oder darf man da nur Punkte heranziehen, die auch im Definitionsbereich von liegen? Und nun noch etwas zum Bolzano-Weierstraß; Sei Du meinst also, dass die zu betrachtenden Folgen alle in liegen sollen?!? Sry, steh grad auf der Leitung. Dann wüßte ich ja nur, dass in jeder Umgebung eines Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen. Daraus kann ich aber lange noch nicht schließen, dass dort auch die Ableitung verschwindet... Kannst du mir das noch kurz erklären?:-) |
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Mein Gegenbeispiel sagt aus, dass die Aussage nicht für beliebige beschränkte Intervalle gilt. Natürlich spricht man von Differenzierbarkeit nur im Definitionsbereich. Es macht ja schließlich auch nicht Sinn, wenn ich frage, ob an der Stelle "Mond" differenzierbar ist. "Du meinst also, dass die zu betrachtenden Folgen alle in N liegen sollen?!?" Was meinst du damit? Warum auf einmal mehrere Folgen? Es ist doch klar, dass du dir eine Folge paarweise verschiedener Nullstellen von konstruieren kannst, wenn derer unendlich viele hat oder nicht? |
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Achso, du meinst also, dass ich genau eine Folge betrachte, die in liegt und dort auch ihren Grenzwert hat (aufgrund der Kompaktheit des zugrunde liegenden Intervalls). Ich denke, jetzt leuchtet mir mehr Licht, oder? :-) |
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Ja. Achte aber darauf, dass die Folge aus paarweise verschiedenen Nullstellen besteht. |
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"Achte darauf,... Nullfolgen besteht" Also jetzt doch mehrere Folgen? :-O Du meintest wohl Nullstellen, oder? ;-) |
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Sei also eine Folge in mit paarweise verschiedenen Folgegliedern. (was eigentlich schon aus der Abbildungseigenschaft von folgen sollte, denn o.B.d.A. zweimal die gleiche Nullstelle wäre ein Verstoß gegen die eindeutige Zuordnung eines Elements aus dem Definitionsbereich in den Zielbereich von ). Wir wollen nun zeigen: Das sollte aber nun aus dem Satz von Rolle folgen. Eine anderen Vorschlag hätte ich da leider nicht... :/ Ist das richtig so? |
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Ja, hatte mich oben verschrieben, tut mir Leid. Ich sehe nicht, wie das aus dem Satz von Rolle folgen soll, das müsstest du näher erläutern. "(was eigentlich schon aus der Abbildungseigenschaft von f folgen sollte" Nein tut es nicht. Sehe nicht, wie du darauf kommst, nirgendwo wird dadurch irgendwelche Eindeutigkeit verletzt. Was soll da auch nicht funktionieren. Man kann doch einfach eine konstante Folge in wählen. Ganz im Gegenteil muss man sogar die Existenz einer Folge sichern, für die eben die Folgenglieder paarweise verschieden sind. Das geht dann halt dadurch, dass unendlich ist. "Eine anderen Vorschlag hätte ich da leider nicht... :/ " Benutze doch mal den Satz von Bolzano Weierstraß, was gibt der uns? |
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Bolzano - Weierstraß schenkt uns eine in konvergente Teilfolge. Wie daraus etwas über die Steigung der Tangente in irgendeinem Punkt aus gesagt werden soll, ist mir ein großes Rätsel. Hast du vielleicht noch einen kleinen Tipp ohne die Lösung zu verraten? :-) |
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Ok, sei Grenzwert dieser Teilfolge. liegt auch in , warum ? Zeige erstmal, dass auch Nullstelle von sein muss. Nutze dann aus, dass der Grenzwert des Differnzenquotienten existiert. (Charakterisierung über Folgen) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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