funktionsschar

hallihallo,

hab hier einige übungsaufgaben die ich gern können möchte damit ich das in der arbeit dann auch kann.

also vllt kann mir jmd die lösungen bzw. rechnungsweg sagen..

1.) Gegeben ist die Funktionsschar fk mit fk(x) = (k-x) e^x, k ${\displaystyle \in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

a.) Zeige, dass der Graph einer jeden Funktion fk genau einen Extrempunkt hat.

b.) Zeige, dass die Extrempunkte aller Funktionen fk auf dem Graphen der Exponentialfunktion mit f(x)=e^x liegen.

also ich hab echt nicht viel ahnung wie ich da nu vorgehn soll, also vllt erstma die ableitungen bilden und dann gleich null setzen dann kiregt mal vllt die extrempunkte raus...hmm..

grüße und danke =)

Hallo

Also wenn du Ableitest und null setzt kriegst du die Extremstellen  in Abhaengigkeit von k.

-d.h die X-Koordinaten des Extrempunktes in abhaengigkeit von k.

Setzt du dieses in fk(x) ein , kriegst du die Extremwerte in Abhaengigkeit von k.

-d.h die y-Koordinate des Extrempunktes in Abhaengikeit von k.

In diesen 2 Gleichungen kannst du k eleminieren und nach y umstellen.

Voerst genug,

aber versuch erst mal selber.

MFG

Basti

zuerst mal danke für deine antwort.

hab ich richtig abgeleitet?

fk(x) = (k-x)e^x

fk´(x) = (nach produktregel) 

          = e^x (-k -x ) ??

nein falsch, wart guck grad mal selbst weil der der Rechner hat das gemacht.

aso..ist die ableitung von k-x  =  k-1  nich nur -1 ? weil k is eig ne zahl und ne ableitung vonner zahl is null aber die ableitung von x is 1 ..dabei komm ich immer durcheinander..also die ableitung von k ist k !?! 

ok danke erstmal..rechne eben weiter

Hhhhmmm

Ich hab per hand nachgrechnet

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\prime \left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={-\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

muesste stimmen weil ich alle geometrischen beweise nachgeplottet hab fuer die Aufgabe.

muss man dann die ableitung in abhängigkeit von k auflösen oder von x ?

Naja ,Also die Ableitung von fk(X) ist

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}$

wieso mich :D:D ich weiß nicht was richtig is..also bei der aufgabe außer schule haben wir die erste ableitung gleich null gesetzt und dann nach x umgestellt xD .ka ob nach k oder x :o

äähm das versteh ich jetzt nich..was hast du denn da gemacht?

also ist die ableitung nu e^x (2k-x-1) oder e^x (k-x-1) ??

und muss ich das gleich null setzen und nach k oder x auflösen??

das wäre nämlich nu der nächste schritt richtig?

hat blos nich so geklappt mitn editor.

:( ...wie löse ich denn nu die aufgabe>?? ich versteh grad nix mehr ;)

zeige dass der graph genau einen extrempunkt hat !

OK. Schritt fuer Schritt.Also das Ableiten von fk(x) das hast du verstanden und kannst nachvollziehen.

nee also du hast da iwie zwei ableitungen hingeschrieben xD..

ist die nu richtig e^x (2k-1-x) ? oder die andere (s.o.)

aso seh grad fx´(x) = e^x (k-x-1) also nach produktregel und ableitung von k-x jetzt doch -1 ??? ich dacht k-1

Auf Deutsch.........

setze  ${\displaystyle \mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

daraus folgt

${\displaystyle {\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=-1}$

-"wir leiten ja nach x ab, alles andere seien es auch  buchstaben o.ae werden als konstanten behandelt"

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)={\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)*\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

${\displaystyle ={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+{\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(-1)={\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Nullsetzen

${\displaystyle 0={\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

nach x-umstellen liefert x-Koordinaten der Punkte.

ok..also jetzt doch k-1 = -1 ableitung ;)
du sagst jedes mal was anderes xD ..

wie du nu von e^x (k-x-1) auf e^x (x+1-k) kommst kann ich grad net nachvollziehen aber durch umsetzen wird das schon rauskommen..

also kann ich mir jetzt merken dass die ableitung von k= 0 ist richtig?

einsetzen von ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ liefert eine zweite gleichung, die der y-Koordinaten.

Aus beiden gleichungen, die der x-Koordinaten und die der y-Koordinaten, kannst du k eleminieren. 

Danach, nach y umgestellt ist das die Koordinatenform der Extrempunkt Kurve.

fk´(x) = e^x (k-x-1) 

e^x (k-x-1) = 0

k-x-1 = 0

k-1 = x

ok danke erstma..muss nu zum taining vllt kann ich es später noch alleien lösen..wenn ich wüsste was k eliminieren is :D

danke!!!!

Ja, (gleichung der x-Koordinaten)