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grenzwert dieser folge ...

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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09:15 Uhr, 18.01.2023

hallo
meine fragen stehen im anhang
dAnke mal voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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09:19 Uhr, 18.01.2023

hier noch einmal aber verdreht

Respon

09:50 Uhr, 18.01.2023

1)

Der Faktor

cos (n \cdot \frac{π}{2})

kann nur die Werte

0, 1

und

- 1

annehmen,

2)

Der Faktor

(2 - \frac{n - 2}{n^{2}})

konvergiert für

n \to \infty

gegen 2.

3)

b_{1} = 0

b_{2} = - 2

| b_{n} | < 2

für

n > 2

4)

\Rightarrow . .

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12:40 Uhr, 22.01.2023

Danke für dieses Schreiben ; jedoch sind meine Fragen nicht beantwortet worden

. .

ledum aktiv_icon

13:13 Uhr, 22.01.2023

Eigentlich sind sie beantwortet.
du hast die Teilfolgen richtig und damit 3 HP also keine Konvergenz eine obere Schranke ist 5 aber auch

3,

eine untere Schranke ist

- 3

aber auch

- 100

.
für nicht monoton ist

cos

periodisch nicht geeignet , Wenn das cos(n*2pi) stünde etwa, du musst schon mit den Teilfolgen argumentieren.
Den Betrag abzuschätzen ist nicht sehr effektiv, wo du ja die Teilfolgen hast.
Gruß ledum

Respon

13:43 Uhr, 22.01.2023

Laut Angabe sollst du Supremum, Infimum, Maximum und Minimum bestimmen.
Das kannst du aus den obigen Informationen ablesen.

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14:22 Uhr, 22.01.2023

Also : wie ich doch im Anhang geschrieben habe : eine meiner Fragen lautet : laut Lösung kann man die Dreiecksungleichung anwenden und bekommt dann 5 als Schranke . Wende ICH die Dreiecksungleichung an , bekomme ich doch dasselbe Ergebnis wie bei der Abschätzung , die ich als erstes gemacht habe .und nicht 5 .Was habe ich falsch gemacht ?
(die frage nach den Teilfolgen wurde beantwortet .danke )

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14:26 Uhr, 22.01.2023

@ respon:
Jetzt verstehe ich was du sagen wolltest . Ich habe mich vertan ; die Werte der Teilfolge sind keine Häufungspunkte ;

@ an alle : Lauten die Häufungspunkte dann nicht

: 0, 4

und

- 4

Respon

14:53 Uhr, 22.01.2023

Lauten die Häufungspunkte dann nicht

: 0,4

und −4?

Wie geht das, wenn

| b_{n} | \leq 2

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16:05 Uhr, 22.01.2023

u ψ!

Waren dann die Häufungspunkte die ich als aller erstes berechnet haben , dann doch nicht richtig ? (Anhang )

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07:14 Uhr, 24.01.2023

Kann mir niemand mehr weiterhelfen ?

walbus aktiv_icon

09:16 Uhr, 25.01.2023

Das ist Mathe vom Trockensten um nicht Ödesten sagen.
Mir wird immer fast übel, wenn ich solche Aufgabe lese.
Darum könnte ich Mathe nie studieren. Meine Motivation für solche Aufgaben wäre Null.
Ich müsste mich nur durchquälen, wie wohl viele Studenten auch.

Versuchs mal auch hier, wenns sehr dringend ist:

www.mathelounge.de

HAL9000

10:17 Uhr, 25.01.2023

Eigentlich hat Respon das notwendige genannt, ich kann es auch nur nochmal in geraffter Form darstellen:

Am besten betrachtet man die beiden Faktoren

c_{n} = \cos (n \frac{π}{2})

und

d_{n} = 2 - \frac{n - 2}{n^{2}}

zunächst getrennt:

1) Bei

c_{n}

ergibt sich (beginnend mit Index n=1) ein periodisches Muster 0,-1,0,1 der Periodenlänge 4.

2) Es ist

d_{n} \leq 2

für alle

n \geq 2

, wobei sich für

n \geq 4

monotones Wachstum von

d_{n}

einstellt mit Grenzwert

lim_{n \to \infty} d_{n} = 2

.

Konsequenz: Es gibt für die Gesamtfolge

b_{n} = c_{n} \cdot d_{n}

folgendes Verhalten

Für ungerade Indizes:

b_{2 m + 1} = 0

für alle

m

, also auch im Teilfolgengrenzwert 0.

Für gerade Indizes gibt es nochmals zwei Unterteilfolgen:

b_{4 m + 2} = - (2 - \frac{4 m}{{(4 m + 2)}^{2}})

mit Teilfolgengrenzwert -2.

b_{4 m} = - (2 - \frac{4 m - 2}{{(4 m)}^{2}})

mit Teilfolgengrenzwert 2.

Offenkundig gilt damit dann

\underset{n \to \infty}{liminf} b_{n} = - 2

und

\underset{n \to \infty}{limsup} b_{n} = 2

.

Was Infimum und Supremum betrifft, kommt auch das in 2) erwähnte Monotonieverhalten von

d_{n}

zum Tragen. Zusätzlich müssen wir die Anfangswerte der beiden Teilfolgen mit geraden Indizes berechnen, d.h.

b_{2} = - 2

und

b_{4} = \frac{15}{8}

, und erkennen damit insgesamt.

min_{n \geq 1} b_{n} = inf_{n \geq 1} b_{n} = - 2

und

sup_{n \geq 1} b_{n} = 2

.

Ein Maximum existiert hingegen nicht, da das Supremum 2 von keinem Folgenwert

b_{n}

angenommen wird.

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15:59 Uhr, 26.01.2023

Vielen Dank . Eine Frage ist noch offen geblieben : Siehe Anhang : was habe ich falsch gemacht als ich die Dreiecksungleichung angewendet habe ?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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