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integral

Schüler Gymnasium,

Tags: Aufgabe

veriina aktiv_icon

23:45 Uhr, 24.10.2012

HALLO,

wie gehe ich eigentlich vor, wenn ich eine funktion

y = x^{2}

habe und eine Gerade mit

y =

m⋅x, wie gehe ich eigentlich da vor , denn da habe ich gar keine Punkte gegeben , um eine Tangenformel... zu bilden... ? Und da kommen insgesamt keine Zahlen vor..???

Ps.: Skizze hab ich schon, aber trotzde eigentlich nciht richitges gegeben..?
bin keine schnell-versteherin..:S

Liebe Grüße

verriii

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Duckx aktiv_icon

00:01 Uhr, 25.10.2012

Kannst du deine Frage bitte etwas verständlicher formulieren?
Ich verstehe nicht, was deine Frage ist :-)
LG Duckx

Mathe45

00:02 Uhr, 25.10.2012

Wie lautet die Aufgabenstellung?

veriina aktiv_icon

00:07 Uhr, 25.10.2012

a)

Die Parabel mit der Gleichung

y = x^{2}

schließt mit einer Geraden der Form

y = m \cdot x

mit

m

gleichgrößer als 0 eine Fläche ein.
Geben Sie diesen Inhalt in Abhängigkeit von

m

an.

b)

Die Parabel teilt die Fläche unter der Parabel in zwei Teile (durch die gerade)
Zeigen Sie, dass die Inhalte dieser Teilflächen unabhängig von

m

im gleichen Verhältnis zueinander stehen.

Komme gar nicht weiter...

Duckx aktiv_icon

00:10 Uhr, 25.10.2012

a) :

Um die Fläche herauszubekommen, die die beiden Graphen einschließen, musst du zuerst das Intervall herausfinden wie du schon richtig erkannt hast. Um die beiden Intervall-Punkte herauszufinden musst du die Schnittpunkte ausrechnen :-) also die beiden Graphen gleichsetzen.

zu

b) :

Die parabel teilt die Parabel? Ist dort ein Fehler in deiner Aufgabe?

veriina aktiv_icon

00:24 Uhr, 25.10.2012

Ich hab jetzt noch eine skizze angefügt um es besser vorzustellen und nochmals die aufgabe

b)

DIe parabel teilt die ornagerot gefärbte fläche in zwei teile. zeigen sie, dass die inhalte dieser teilflächen unabhängig von

m

im gleichen verhältnis zueinander stehen.

Jaa , ich hab versucht sie gleich zu stellenbei

a)

aber ich komme da gar nicht zurecht, da dort keine zahlen gegeben sind...

übringens: Vielen Dank für die Antwort bzw. Erklärung

LG

verii

Duckx aktiv_icon

01:41 Uhr, 25.10.2012

Also dann versuche ich es mal mit meinen eingerosteten Mathe-Kenntnissen ;-)
Rein von der Logik her ist ein Schnittpunkt leicht gefunden. Denn sowohl die Parabel schneidet den Koordinatenursprung als auch die Gerade (unabhängig von m).
Den 2ten Schnittpunkt bekommt man durch gleichsetzen.
wenn du

y = x^{2}

und

y = m * x

gleichsetzt kommst du zu

x^{2} = m * x

Also ist

m = x

. Somit ist m die Schnittstelle.
Du hast Also den Intervall[0,m] heraus.

Um nun erst einmal den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen auszurechnen musst du nun den Flächeninhalt des Dreiecks dass die Gerade mit der x-achse bildet ausrechnen.
Also einfach das Integral der Gerade im Intervall [0,m] ausrechnen. Davon subtrahierst du nun das Integral der Parabel im Intervall [0,m]. Also die Fläche zwischen der Parabel und x-Achse. Dann hast du das Ergebnis für die Fläche die von der Parabel und der Geraden eingeschlossen wird. Zur Kontrolle für dich: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollte die Fläche

\frac{1}{6} m^{3} F E

betragen.

Das Verhältnis der Beiden Flächen ist jetzt ganz einfach.
Du hast die Fläche des Schnipsels schon. Und auch die andere Fläche solltest du haben, also die zwischen der Parabel und x-achse. (sie sollte

\frac{1}{3} m^{3} F E

betragen)

Wenn du jetzt die beiden Flächen vergleichst:

\frac{1}{6} m^{3} F E : \frac{1}{3} m^{3} F E

\frac{1}{6} m^{3} F E : \frac{2}{6} m^{3} F E

Man sieht daran, dass egal welche Maße m annimmt, das Verhätnis bleibt bestehen. Man könnte es wegkürzen auf das Verhältnis 1:2

Ich hoffe ich konnte es relativ verständlich erklären und habe keine Fehler eingebaut.
mfg Duckx

veriina aktiv_icon

09:22 Uhr, 25.10.2012

Dankee für die Antwort und werde es gleich ausrechnen und vergleichen, aber nur eine frage , muss

m

nicht unter einer wurzel stehen denn

x^{3} = m ... .

?

und wenn ich das integral habe, wie soll ich es berechnen, wenn b=unbekannte

m

ist..?

Liebe Grüße

verri

funke_61 aktiv_icon

10:09 Uhr, 25.10.2012

m

bleibt hier ein freier Parameter und wird als obere Grenze eingesetzt.
Da es hier um zwei Schnittpunkte geht, gilt:

x^{2} = m x

x^{2} - m x = 0

x (x - m) = 0

x_{1} = 0

x_{2} = m

a)

Die Fläche zwischen der Gerade

y = m x

und der Parabel

y = x^{2}

ist

\int_{0}^{m} m x - x^{2} d x = {[\frac{1}{2} m x^{2} - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{m} = (\frac{1}{2} m \cdot m^{2} - \frac{1}{3} m^{3} - (0 - 0)) = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) m^{3} = \frac{1}{6} m^{3}

b)

Die Fläche unterhalb der Parabel und oberhalb der x-Achse zwischen 0 und

m

ist

\int_{0}^{m} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{m} = (\frac{1}{3} m^{3} - 0) = \frac{1}{3} m^{3}

FE

Jetzt das Verhältnis beider Flächen aufstellen:

\frac{\frac{1}{6} m^{3} F E}{\frac{1}{3} m^{3} F E} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{6} = 1 : 2

Die beiden Flächen verhalten Sich also für jedes

m

wie

1 : 2

veriina aktiv_icon

13:09 Uhr, 25.10.2012

Ahh okay, ich habe alles verstanden, außer das mit den verhältnissen..

man soll ja zeigen,d ass die beiden flächen unabhängig von

m

das gleiche verhältnis ahben, ich verstehe es nicht recht, was nützt es einem und warum ist es so unabhängig von

m . .

?

Für alle Antworten vielen Danke, hab das meiste verstanden, viiiiiieeeeellen großen Dank!!

LG

verrii

funke_61 aktiv_icon

13:18 Uhr, 25.10.2012

"Was nützt es einem?"
Na es ist eben ein "interessantes Ergebnis", dass das Verhältnis dieser beiden Flächen unabhängig von der Steigung

m

der Geraden ist.

Das Verhältnis der beiden Flächen ist unabhängig von

m,

weil sich

m

aus dem Verhältnis (bzw. aus dem Bruch) herauskürzen lässt.

veriina aktiv_icon

13:25 Uhr, 25.10.2012

Achsoo, okay. Dann hab ich wirklich alles verstaanden und versuche jetzt eine weitere aufgabe allein zu lösen. Vielen Dank , ich hatte am anfang große probleme mit dem umformen, ohne Euch würde ich noch Stunden daran sitzen und nicht weiter kommen... Nochmals vielen Dank!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Liebe Grüße

verrii

veriina aktiv_icon

13:28 Uhr, 25.10.2012

Wie ich mich kenne, werde ich schon demnächst hier wieder eine Frage zu etwas stellen...

: [:]

.

Solange vielen Dank und hoffe , dass ich nicht allzu gestört hab Ö

]

LG

verrii

funke_61 aktiv_icon

13:34 Uhr, 25.10.2012

kein Problem.
Das schönste für mich ist hier, wenn ich mitbekomme, dass meine Beiträge wirklich nützlich waren :-)

veriina aktiv_icon

13:36 Uhr, 25.10.2012

Das waren sie auf jedenfall! , Ohne dies wäre ich sicherlich nicht weiter gekommen, deswegen nochmals nur Dankeschöönnnn!!!!!!!!!!!!!!

LG

verrii

Mathe45

08:41 Uhr, 14.11.2012

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