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integral mit dirac delta

Universität / Fachhochschule

Tags: dirac delta über Betrag integrieren

redarrow aktiv_icon

18:49 Uhr, 28.04.2016

Hallo zusammen

Kann mir jemand sagen, mit welchen Regeln man folgendes zeigen kann.

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{δ (x - a)}{∣ x - a ∣} d x = \frac{1}{∣ a ∣}

mit

δ (. . .)

ist die dirac-delta Funktion gemeint.

besten dank
redarrow

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

09:38 Uhr, 29.04.2016

Das kann man nicht zeigen, weil das falsch ist.

redarrow aktiv_icon

11:17 Uhr, 29.04.2016

Das ergebnis hat mir mathematica geliefert. Zudem ist deine knappe Aussage nicht wirklich hilfreich. Was wäre deiner Meinung nach denn richtig?

DrBoogie aktiv_icon

11:21 Uhr, 29.04.2016

Nun, ich weiß nicht, was Du genau Mathematica gefragt hast.

Was Du wissen musst: Delta-Funktion ist gar keine richtige Funktion, sondern eine Distribution, also ein Funktional auf (glatten) Funktionen, deshalb ist der Ausdruck

\int_{\infty}^{\infty} \frac{δ (x - a)}{∣ x - a ∣} d x

aus mathematischer Sicht zuerst mal sinnlos, sinnvoll wäre

\int_{\infty}^{\infty} \frac{δ (x - a)}{∣ x - a ∣} φ (x) d x

mit einer glatten Testfunktion

φ

. Allerdings ist dieses Integral unendlich, außer den Fall

φ (a) = 0

.

Die Einzelheiten über Dirac-Funktion sind in Wikipedia nachzulesen:
de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution

Roman-22

14:01 Uhr, 29.04.2016

>

Kann mir jemand sagen, mit welchen Regeln man folgendes zeigen kann.

Ist das nicht einfach eine Folge der Ausblendeigenschaft (Faltungseigenschaft) der Dirac-Funktion

\int_{- \infty}^{\infty} δ (ξ) \cdot f (ξ) d ξ = f (0)

bzw.

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x - a) \cdot f (x) d x = f (a)

.
Allerdings ist da irgendwo der Fisch in deiner Angabe. Es dürfte nicht sowohl das Argument von

δ

als auch jenes vom Betrag

x - a

lauten !?
Also vielleicht

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{δ (x - a)}{| x |} d x = \frac{1}{| a |}

Siehe auch de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution#Eigenschaften

R

DrBoogie aktiv_icon

14:08 Uhr, 29.04.2016

Sorry, aber so ist das nicht.
Mit

f (x) = \frac{1}{∣ x - a ∣}

haben wir zwar

\int δ (x) \frac{1}{∣ x - a ∣} d x = \int δ (x) f (x) d x = f (0) = \frac{1}{∣ a ∣}

, aber doch nicht

\int δ (x - a) \frac{1}{∣ x - a ∣} d x = \frac{1}{∣ a ∣}

Roman-22

14:10 Uhr, 29.04.2016

Ja, wie oben ergänzt müsste die Angabe anders lauten (und vielleicht sollte sie das auch).

redarrow aktiv_icon

16:42 Uhr, 29.04.2016

Hallo zusammen

Hier der Mathematic Code mit Ergebnis:

In[12]:= Integrate[ DiracDelta[x - a] /Abs[x - a], {x, -Infinity, Infinity}]
Out[12]= ConditionalExpression[1/Abs[a], a \[Element] Reals]

Bleibt mir ein Rätsel, warum Mathematica hier falsch liegt....

Mein physikalisches Problem müsste man mathematisch aber tatsächlich anders formulieren:

In[11]:= Integrate[ DiracDelta[x - a] /Abs[b - x], {x, -Infinity, Infinity}]
Out[11]= ConditionalExpression[1/Abs[a - b], a \[Element] Reals]

Das dürfte wohl stimmen mit der Filtereigenschaft und wäre auch sinnvoll

Grüsse
redarrow

1304332

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