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komplexe nullstellen partialbruchzerlegung?

Schüler Gesamtschule, 9. Klassenstufe

Tags: Komplexe Nullstellen, Partialbruchzerlegung

 
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Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

22:53 Uhr, 02.05.2015

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Hallo es gibt ja zwei arten von partialbruchzerlegung. Einmal die ganz normale , wo man den nenner einfach faktorisiert und dan blablabla.

Dann gibt es ja ne zweite art, und zwar dann wenn es sich um komplexe nullstellen handelt.
Dann macht man ja : (Ax+B)/(x^2+4) zum beispiel.

Kann ich das auch bei reelen nullstellen machen? Wenn ich beispielsweise gegeben habe :x5+x3+x+1(x-1)(x-2)2

Ich bin halt bis jetzt immer den weg gegangen eine polynomdivision durch jeden faktor im nenner durchzuführen, aber das dauert einfach zu lange.

Wie zum beispiel hier: x5-4x4-13x3+52x2+36x-144(x2-5x+6)(x2-x-12)(x2-1)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

23:07 Uhr, 02.05.2015

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Hallo,

bei dem angegebenen Beispiel konnte man sehr einfach den Zähler faktorisieren und kürzen. Insofern war die Partialbruchzerlegung auch sehr einfach. Was die eigentliche Frage angeht: Du findest sehr wohl ein passendes Grundintegral zu einem Bruch mit x2+a im Nenner. Wenn Du dort aber irgendwelche x2+px+q stehen haben willst, dann wird das mit allgemeingültigen Lösungen eng!
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

23:13 Uhr, 02.05.2015

Antworten
Kann mir jemand verraten wie ich das faktorisieren so einfach machen kann? Ich kann überhaupt nicht faktorisieren.
Ich kenne das nur so , dass ich den nenner null setze und dann die nullstellen herqusfinde und dann in faktorschreibweise aufschreibe.

Wie kann man so ein polynom höheren grades faktorisieren, dann würde es mir einfacher fallen solche aufgaben zu lòsen.

Und wo bitte kann man etwas kürzen? Nur erst nach langem rechnen.

Ich möchte alles möglichst ohne taschenrechner berechnen.
Antwort
Bummerang

Bummerang

23:17 Uhr, 02.05.2015

Antworten
Hallo,

zu Deiner Aufgabe mit x5 im Zähler hast Du doch hier einen Thread aufgemacht! Schau doch dort mal vorbei, da findest Du für diesen Zähler einen einfachen Weg zur Faktorisierung! Den Nenner zu faktorisieren ist auch nicht so schwer!
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

23:20 Uhr, 02.05.2015

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Siehe mal. Ich habe diese aufgabe schon hier gefragt. Aber jetzt habe ich gefragt ob man das auch so lòsen kann wie ma es mit komplexen nullstellen anstellt.
Das war eig meine hauptfrage.

Es geht mjr nicht speziel um diese aufgabe. Sondern ich will gerne lernen wie ich ganz allgemein solche polynome höheren grades faktorisiere. Wie und wo ist das wissen dafür?

Lg :-)
Antwort
Bummerang

Bummerang

23:23 Uhr, 02.05.2015

Antworten
Hall9,

dann ist ja alles bestens! Dann kannst Du ja aufhören weiter zu fragen, da das alles hier bereits beantwortet ist!

"Geht nicht!" und "Sei kreativ!"
Antwort
Roman-22

Roman-22

00:02 Uhr, 03.05.2015

Antworten
"
Siehe mal. Ich habe diese aufgabe schon hier gefragt. Aber jetzt habe ich gefragt ob man das auch so lòsen kann wie ma es mit komplexen nullstellen anstellt.
Das war eig meine hauptfrage.
"

Mir ist nicht klar, was du mit "so wie man es mit komplexen Nullstellen anstellt" meinst.
Meinst du, ob du bei der PBZ schon bei x+10x2-4 aufhören darfst ohne weiter zu 3x-2-2x+2 weiter zu zerlegen? Normalerweise würde ich das nicht machen, aber es kommt natürlich darauf an, wofür du die PBZ benötigst.

Was das Faktorisieren von Polynomen anlangt, so gibt es dafür keine allgemeingültige und schon gar keine einfache Formel oder Methode um die Nullstellen von Polynomfunktionen zu finden. Für quadratische Terme kennst du sicher die Formel, für Polynome dritten Grades gibts die Formel von Cardano, für Polynome 4. Grades gibts auch noch eine Formel, die aber beide in der Regel nicht Schulstoff ist und danach wird die Luft schon recht dünn. Gelingt es, eine Nullstelle x0 zu erraten, so kann man den Grad des Polynoms durch Division durch x-x0 um 1 verringern.

Im Falle einer PBZ muss man nicht versuchen, eine Polynomdivison durch jeden Primfaktorterm des Nenners durchzuführen. Jedenfalls nicht, bei reellen Nullstellen des Nenners. Im Falle deines Beispiels kannst du sämtliche quadratische Terme im Nenner noch faktorisieren, du hast also die 6 Nennernullstellen ±1,2,±3,4.
Die setzt du jetzt der Reihe nach in das Zählerpolynom ein - bei vier von ihnen, nämlich 2,±3,4, erhältst du Null und damit weißt du, dass dein Zählerpolynom durch (x-1)(x+3)(x-3)(x-4) restlos teilbar ist und kannst diesen Term berechnen und den Zähler gleich durch x4-5x3-5x2+45x-36 dividieren, anstelle vier Einzeldivisionen durchzuführen.


Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

15:05 Uhr, 03.05.2015

Antworten
"Mir ist nicht klar, was du mit "so wie man es mit komplexen Nullstellen anstellt" meinst."


Im beiliegenden Anhang siehst du wie ich es meine.

Da siehst du , dass man bei der Partialbruchzerlegung mit komplexen nullstellen im Nenner einen anderen Ansatz hat als bei reelen Nullstellen des Nenners.

Sieh das die einfach an.

Und meine Frage: Kann man so ( wie in dem Anhang) auch bei reelen Nullstellen des Nenners vorgehen, oder ist das nur den nicht reelen Nullstellen vorbehalten?

partial
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

15:25 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Hier ist eine Webside, wo du die Partialbruchzerlegung genau erklärt bekommst:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

mfG

Atlantik
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

15:27 Uhr, 03.05.2015

Antworten
@ Roman

Du hast geschrieben : "... dass dein Zählerpolynom durch (x-1)(x+3)(x-3)(x-4) restlos teilbar ist ..."

Ich glaube durch hast da einen kleinen Fehler gemacht: Am Anfang nicht (x-1) sondern (x-2), bei 1 und -1 wird der Zähler nicht null, aber bei 2.
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

15:28 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Hallo Atlantik,

ja die seite kenne ich schon .


Allerdings beantwortet sie nicht meine Fragen .



Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

15:33 Uhr, 03.05.2015

Antworten
die Methode von dir, Roman, find ich nicht schlecht, aber ungeeignet für mich ,da ich gerne Ohne Taschenrechner arbeiten will. 45 kann man nicht im Kopf rechnen , es sei denn man weiss es auswendig, und dann mit solchen Zahlen im kopf rechnen ist etwas unbequem.


Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

17:18 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Ich habe mal 2 screenshots gemacht :


1.)im Nenner (x2+4)2 Lösung x2+4=0 ist somit komplex.


2.)im Nenner (x2-4)2 Lösung x2-4=0 ist weiter spaltbar.


Da siehst du, dass jeweils eine andere PBZ gebraucht wird.

mfG

Atlantik

Nenner 1
Nenner 2
Tamburin442

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17:24 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Ok danke . Genau das war meine Frage.

Als kann ich variante nummero 1 auch NUR bei komplexen Nullstellen verwenden?



Antwort
Roman-22

Roman-22

17:27 Uhr, 03.05.2015

Antworten
> Ich glaube durch hast da einen kleinen Fehler gemacht: Am Anfang nicht (x-1)
> sondern (x-2), bei 1 und -1 wird der Zähler nicht null, aber bei 2.
Richtig, danke. Da hatte sich ein Typo eingeschlichen

> Da siehst du , dass man bei der Partialbruchzerlegung mit komplexen nullstellen im
> Nenner einen anderen Ansatz hat als bei reelen Nullstellen des Nenners.
Naja, das ist doch Standard!
Du hast eben bei der PBZ im Wesentlichen vier Fälle zu beachten und musst die entsprechenden Ansätze kennen: einfache reelle Nennernullstellen, mehrfache reelle NNSt, einfache komplexe NNSt und mehrfache komplex NNSt.
Und wenn man die PBZ durchführt um eine gebrochen rationale Funktion zu integrieren, dann wird man sich genau auch diese vier Fälle ansehen müssen, wobei der mit mehrfach komplexen Nullstellen der spannendste ist

Im Falle von komplexen Nullstellen kann (im Reellen) der Nenner nicht in Linearfaktoren zerlegt werden, du hast ein quadratisches Polynom im Nenner und im Zähler dann eben ein lineares und keine Konstante.
Mir ist nicht klar, was du da bei reellen Nullstellen anders machen möchtest außer, dass du, wie ich vorhin schon schrieb, zu früh aufhörst und einen quadratischen Ausdruck im Nenner akzeptierst. Natürlich kannst du so vorgehen, aber du zerlegst damit nicht vollständig und das könnte sich je nach Verwendungszweck rächen.

Auch wenn der Vergleich hinkt, so ist deine Frage ein wenig so, als würdest du dich mit dem Lösen von Logarithmengleichungen durch Entlogarithmieren beschäftigen und fragen, ob man die Methode nicht auch bei Wurzelgleichungen anwenden kann.

Wenn ich deine Frage aber missverstanden haben sollte, dann müsstest du sie nochmals anhand eines konkreten Beispiels präzisieren.

Achja - ob man eine Polynomdivision ohne TR bewältigt hängt zu einem guten Teil von der Wahl der Angabezahlen und der eigenen Kopfrechen-Fähigkeit ab. Du warst derjenige der gefragt hat, obs nicht schneller ginge. Aber natürlich ist es dir unbenommen, viermal die Divison durch einen linearen Faktor auszuführen - ganz nach persönlichem Geschmack.

Übrigens war 4^5 eher ein schlechtes Beispiel, denn das sollte man durchaus im Kopf berechnen können (4*4=16, 16^2 sollte man wissen und 256*5 auch im Kopf keine unüberwindbare Hürde darstellen). Außerdem wissen viele in unserer vom Binärssystem durchdrungenen Welt 2er Potenzen auswendig und 4^5=2^10=1024, eine in der Informatik omnipräsente Zahl.


Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

17:33 Uhr, 03.05.2015

Antworten
andere Frage:

die Aufgabe von Oben:

x5+x3+x+1(x-1)(x2-4x+4)

ich sehe dass der Zählergrad > Als nennergrad ist, also mache ich zuerst ne Polynomdivision:

nenner ausmultiplizieren und dann Polynomdivison durchführen:

(x5+x3+x+1):(x3-5x2+8x-4)=x2+5x+18 und Rest 54x2-123x+18x3-5x2+8x-4

ich mache ab jetzt die Partialbruchzerlegung mit dem Restterm weiter:

54x2-123x+18x3-5x2+8x-4=54x2-123x+18(x-1)(x2-4x+4)=54x2-123x+18(x-1)(x-2)2=Ax-1+Bx-2+C(x-2)2

Jetzt mach ich ganz klassisch die Partialbruchzerlegung zuende und es kommt heraus:

A=-51 und B=105 und C=-12

Aber wenn ich das Mit dem Online Rechner mache kommt was anderes für A,B und C heraus. Vllt weil der das Mit koeffizienten-vergleich macht und ich nicht?


Antwort
Roman-22

Roman-22

17:35 Uhr, 03.05.2015

Antworten
> Als kann ich variante nummero 1 auch NUR bei komplexen Nullstellen verwenden?
Nein! Wie jetzt schon mehrfach erwähnt. Es ist bloß meist nicht sinnvoll, einen Bruch mit quadratischem Nenner stehen zu lassen, wenn dieser noch weiter in Brüche mit linearen Nennern zerlegt werden könnte.

Natürlich darfst du

6x2-5x+1(x-1)(x2-5x+6)=Ax-1+Cx+Dx2-5x+6

ansetzen und wirst völlig richtig auf

=1x-1+5x+5x2-5x+6

kommen. Das ist nicht falsch, aber der Ausdruck wäre eben im Reellen noch weiter zerlegbar

=1x-1-15x-2+20x-3


Tamburin442

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17:38 Uhr, 03.05.2015

Antworten
ok danke.

Und was wenn ich das für die Integration der Funktion brauche? DANN wäre es erst sinnvoll diese Variante NUR für komplexe Nullstellen zu verwenden?
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:41 Uhr, 03.05.2015

Antworten
In der Regel ist die vollständige Zerlegung immer sinnvoll, auch wenn du die PBZ zB durchführst, um dann die inverse Laplace-Transformation auszuführen.

Ich sehe keinen Grund, warum man bewusst eine unvollständige Bruchzerlegung anstreben sollte.

PS: Bei deiner Polynomdivison hast du einen Fehler. Im Zähler muss es 54x2-123x+73 heißen.
Wie du oder der Online-Rechner die Koeffizienten ermitteln ist unerheblich - die PBZ ist eindeutig, da kann nicht je nach Methode ein anderes Ergebnis rauskommen.
Tamburin442

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18:23 Uhr, 03.05.2015

Antworten
ich weiss zwar nicht was du mit laplace-Transformation meinst ( hahaha :-))

aber danke.



Ich habe da mal noch eine Frage:

Die Aufgabe :x5-4x4-13x3+52x2+36x-144(x2-5x+6)(x2-x-12)(x2-1)

Hier soll ich ne Partialbruchzerlegung durchführen.

Ich habe die Aufgabe hier am 25.04.2015 schonmal gepostet.

Dann hat Atlantik gesagt (sinngemäß):

1. Polynomdivision (x5-4x4-13x3+52x2+36x-144):(x2-5x+6)=x3+x2-14x-24

2. Nochmal Polynomdivision. Diesmal aber :

(x3+x2-14x-24):(x2-x-12)=x+2

Also hab ich am Ende nur noch x+2x2-1

Warum hat er das so gemacht. Ist doch total einfach. Aber kann man das immer so machen? Wie hat er erkannt dass man das so machen darf.

Also einfach Partialbruchzerlegung durch einen Faktor im Nenner, das Ergebnis durch den nächsten Faktor? Hab ich noch nie gesehen sowas. Ich habe schon versucht diese art von Rechnen bei anderen Aufgaben anzuwenden, aber keine ging so gerade auf. Immer war ein rest dabei, der gestört hat.

Antwort
Roman-22

Roman-22

18:44 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Laplace-Transoformation ist eben auch ein Kapitel in der Mathematik, bei dem man wieder mit so etwas Elementarem wie einer PBZ konfrontert wird, bzw. man dieselbe anwenden können sollte.

Wie Atlantik das "gesehen" hat oder ob er es mithilfe eines Online-Rechners "gesehen" hat, das kann nur er beantworten.

Ich hab dir diese Frage aber ohnedies schon schon weiter oben beantwortet!
Generell gilt doch mehr oder weniger bei allen Mathematikaufgaben, dass man nicht sofort wie von der Tarantel gestochen losrechnen sollte, sondern sich die Angabe erst genauer ansieht und versucht herauszufinden, ob man dieselbe nicht substantiell vereinfachen kann. Das kann zB bei einem Gleichungssystem bedeuten, dass man manche Gleichungen erst durch einen gemeinsamen Faktor aller Summanden dividiert, um leichter handhabbare Zahlen zu erzeugen. Bei einer PBZ bedeutet es, dass man erst mal nachsieht, ob sich der gegebene Bruch nicht kürzen lässt - ob Zähler und Nenner nicht vielleicht gemeinsame Faktoren haben.

Um das festzustellen, würde ich zuerst den Nenner (beim Zähler schaffen wir das ad hoc nicht bei diesem Beispiel) soweit als (im Reellen) möglich in Faktoren zerlegen. Angenehmerweise hat unser Nenner ausschließlich reelle Nullstellen. Diese sechs Nullstellen setzt du jetzt der Reihe nach in das Zählerpolynom ein und wenn Null rauskommt, hast du einen gemeinsamen Faktor gefunden, durch den du kürzen kannst.
Also wenn du im Zähler x=3 setzt, dann erhältst du Null und weißt, dass der Bruch durch (x-3) kürzbar ist.
In deinem Beispiel finden sich "zufälligerweise" vier gemeinsame Linearfaktoren, sodass sich die Angabe gewaltig vereinfachen lässt. Du kannst dazu entweder vier Polynomdivisionen durch lineare Terme durchführen oder eine einzige durch ein Polynom vierten Grades (was dir wegen 4^5 etc. nicht so sympathisch war). Atlantik hat gewissermaßen einen Kompromiß gewählt und zweimal durch einen quadratischen Term dividiert. Mit freien Auge sehen, dass sich das restlos ausgehen wird, wird man in der Regel wohl nicht.

Mich irritiert, dass du jetzt im Wesentlichen die gleiche Frage wie vorhin nochmals stellst - ist da irgendwas schief gegangen?


Frage beantwortet
Tamburin442

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18:48 Uhr, 03.05.2015

Antworten
sorry . wenn ich etwas doppel oder dreifach frage. :-)


Jedenfalls danke für die Antwort .

Ich nehme mir eure tipps zu herzen und lese nochmal alles durch und versuche besser zu werden durch etwas training :-)

Bis dann
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

18:56 Uhr, 03.05.2015

Antworten
@ Roman

Ich habe dir ja auch oben schon gesagt, dass mir DEINE variante zwar gefällt, ich diese aber nicht anwenden wollte, weil ich es schwer fand ohne Taschenrechner herauszufinden, beim Einsetzen der Nullstellen in den Zähler, der Zähler null wird.

Wenn ich bsp- die Nullstelle 4 einsetzen will , müsste ich ja berechnen:

45-444-1343+5242+364-144 und Ohne Taschenrechner geht das garnicht! Das war mein Problem. Hab ich dir aber auch oben gesagt.
Frage beantwortet
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

19:03 Uhr, 03.05.2015

Antworten
Ok , ich werde mal einpar potenzen auswendig lernen , und meine kopf-rechnen-fähigkeit verbessen, dann hab ichs etwas einfacher bei solchen aufgaben :-)
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:08 Uhr, 03.05.2015

Antworten
"
Wenn ich bsp- die Nullstelle 4 einsetzen will , müsste ich ja berechnen:

45-4⋅44-13⋅43+52⋅42+36⋅4-144 und Ohne Taschenrechner geht das garnicht! Das war mein Problem. Hab ich dir aber auch oben gesagt.
"
"geht garnicht" würde ich jetzt nicht sagen, aber es ist in jedem Fall ohne TR lästig und fehleranfällig.

Die Alternative wäre aber, eine Polynomdivison durch *jeden* Faktor des Nenners durchzuführen in der Hoffnung, dass diese vielleicht restlos aufgeht. Ich denke, dass das im Normalfall (bei dem man idR viel weniger kürzen kann), die aufwändigere Methode ist. Aber wie so oft in der Mathematik weiß man erst, nachdem man es auf beide Arten gerechnet hat, welche davon die einfachere ist.