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komplizierte Integration

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Integration, Mehrfachintegral, Volumen

spiitzbua aktiv_icon

20:09 Uhr, 15.12.2010

Meine Frage:
also es geht um folgendes ..
ich schreib grad mathe Facharbeit.
dafür muss ich

u

a

. volumina furch Mehrfachintegrale bestimmen.
Kommen wir zum Problem.
Eine figur(sternförmig) ist im

R^{3}

durch die gleichung

a = \sqrt{}

(abs

(x)) + \sqrt{}

(abs

(y)) \sqrt{}

(abs

(z))

gegeben.
wie gesagt volumen soll bestimmt werden.

Meine Ideen:

also der körper is in jedem oktant schonmal symmetrisch. also bestimm ich nur des volumen im ersten oktanten.
integrieren will ich über die funktion

f (x, y) = {(a - \sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}

->bekomm ich dadurch in dem ich nach

z

auflös und die betragsstriche weglass weil ja nur im ersten oktanten gerechnet wird.

so integrationsbreich ist damit

B (x, y) = 0 \frac{<}{=} x \frac{<}{=} a^{2}; 0 \frac{<}{=} y \frac{<}{=} a - \sqrt{x})^{2}

\to z

ist ja gleich null um integrationsbereich

- -

also

0 = {(a - \sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2} .

. .

so integral insgesamt ist dann

\int

from

{0}

{a^{2}} \int

from

{0}

{{(a - \sqrt{x})}^{2}} {{(a - \sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}} d y d x

mein problem ! nach zweimaliger integration bekommt man folgenden ausdruck: LINK

!!

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=((a-sqrt(x))^2)^2/2+++(-4*((a-sqrt(x))^2)^(3/2)*(a+-+Sqrt

[

x]))/3+++((a-sqrt(x))^2)*(a+-+Sqrt[x])^2&random=false
des fette unten mit

\frac{1}{90}

etc...
wenn man da jetzt die obere integrationsgrenze

x = a^{2}

einsetzt steht im nenner

0!!!

WAS HAB ICH FALSCH GEMACHT ?? ?ich wär euch unendlich dankbar...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

QPhma aktiv_icon

00:12 Uhr, 16.12.2010

Hallo spiitzbua,

bevor ich zu den Integralen komme, erst mal eine Frage: ist die Ausgangsgleichung für die Fläche falsch geschrieben oder die anschließende Rechnung? Deine Rechnung stimmt, wenn die Ausgangsgleichung

a = \sqrt{| x |} + \sqrt{| y |} + \sqrt{| z |}

lautet.

Ich gehe mal davon aus, dass die Gleichung der Fläche so ist, wie ich eben geschrieben habe. Dann ist Deine Herleitung für das Integral richtig. Leider kann ich die Eingabe für das Integral in den onlie-Integrator von Wolfram nicht nachvollziehen. Ich vermute, du hast die Integration über

y

bereits ausgeführt. Wenn ich das mache, komme ich auf den wesentlich einfacheren Ausdruck

\frac{{(a - \sqrt{x})}^{4}}{6}

. Schreib doch Deinen Rechenweg zur y-Integration mal im Detail hier auf.

Gruß

QPhma

spiitzbua aktiv_icon

13:45 Uhr, 16.12.2010

ja tut sie ..
oh jetzt seh ichs .. sry ist wohl was daneben gegangen

(;

ähm ja genau .. für die rechnung lass ich also die betragsstriche weg..

also
wie kommst du auf diese stammfunktion !?!? Oo

zum einen sagt mir wolfram dass die stammfunktion zu

f (x, y) = {(a - \sqrt{x} - \sqrt{y})}^{2}

- \to F (x, y) = - \frac{4}{3} y^{\frac{3}{2}} (a - \sqrt{x}) + \frac{y^{2}}{2} + y {(a - \sqrt{x})}^{2}

ist.

berechnet hab ich mir des so :

\int {((a - \sqrt{x}) - \sqrt{y})}^{2} d y = \int ({(a - \sqrt{x})}^{2} - 2 (a - \sqrt{x}) \sqrt{y} + y) d y = y {(a - \sqrt{x})}^{2} - 2 (a - \sqrt{x}) \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + \frac{y^{2}}{2}

setz ich da dann für

y

als obere integrationsgrenze

{(a - \sqrt{x})}^{2}

ein und für die untere

0 (

da kommt dann null raus )
kommt nach dem zweiten integrationsschritt ein ausdruck raus bei dem

90 (\sqrt{x} - a)

im nenner steht ( also:

\frac{1}{90 (\sqrt{x} - a)})

da müsste man dann

a^{2}

als obere integrationsgrenze für

x

einsetzen .. es folgt dann aber dass der nenner 0 ist !?!?!?!

QPhma aktiv_icon

23:02 Uhr, 18.12.2010

Bis zur Lösung des unbestimmten Integrals über

y

bin ich einverstanden. Die untere Grenze eingesetzt ergibt Null. Nach Einsetzen der oberen Grenze lautet das bestimmte Integral:

{(a - \sqrt{x})}^{2} \cdot {(a - \sqrt{x})}^{2} - \frac{4}{3} \cdot (a - \sqrt{x}) \cdot {({(a - \sqrt{x})}^{2})}^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \cdot {({(a - \sqrt{x})}^{2})}^{2} = \frac{1}{6} \cdot {(a - \sqrt{x})}^{4}

Jetzt musst Du das Integral

\int_{0}^{a^{2}} \frac{1}{6} \cdot {(a - \sqrt{x})}^{4} d x

lösen. Dabei gibt es aber keinen Nenner

90 \cdot (a - \sqrt{x})

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