Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » limes superior, limes inferior

limes superior, limes inferior

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

20:08 Uhr, 03.12.2009

Hallo

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe(das Bild)Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte, ich habe da so gar keine ahnung wie sie lösen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

hagman aktiv_icon

21:48 Uhr, 03.12.2009

Es wäre hilfreich zu wissen, wie ihr den limsup definiert habt, denn die Gleichung der ersten Aufgabe ist eine mögliche *Definition* des limsup vgl. de.wikipedia.org/wiki/Limsup )

anonymous

14:44 Uhr, 04.12.2009

limsup ist das supremum aller häufungspunkte, liminf das infimum aller häufungspunkte

anonymous

15:18 Uhr, 04.12.2009

hat denn keiner eine idee? ich brauch das wirklich dringende!!

hagman aktiv_icon

15:44 Uhr, 04.12.2009

Hm, limsub ist das Supremum aller Häufungspunkte?
Dann arbeitet ihr offenbar mit der Zweipunktkompaktifizierung von

ℝ,

also mit

ℝ \cup {- \infty, \infty},

denn sonst hätte beispielsweise

a_{n} = n^{{(- 1)}^{n}}

nur 0 als HP und

a_{n} = n

bzw.

a_{n} = - n

gar keinen.

Sei

a =

limsup

a_{n}

. Sei zunächst

a \in ℝ

.
Seien

b, c \in ℝ \cup {- \infty, \infty}

mit

b < a < c

.
Dann sind unendlich viele Folgenglieder

a_{n} > b,

denn es gibt ja einen Häufungspunkt

> b

.
Andererseits sind höchstens endlich viele Folgenglieder

> c,

denn sonst gäbe es einen Häufungspunkt

\geq c > a

(im Zweilfelsfall

+ \infty

als Häufungspunkt)
Das bedeutet, dass für hinreichend großes

n

gewiss

\supset {a_{k} | k \geq n} \leq c

gilt, aber auch

\supset {a_{k} | k \geq n} > b

.
Wenn man zu

ε > 0

einfach

b = a - ε, c = a + ε

wählt, ergibt sich so

lim_{n \to \infty} \supset {a_{k} | k \geq n} = a

.

Falls

a = + \infty

gibt es kein

c > a

. Das Argument funktioniert dennoch, da man nur

b

benutzen muss. Entsprechend im Fall

a = - \infty,

wenn man nur

c

benutzt.

anonymous

12:04 Uhr, 05.12.2009

hallo diesen beweis verstehe ich noch nicht so ganz wo kommen

b, c

her???

hagman aktiv_icon

12:21 Uhr, 05.12.2009

b

und

c

werden durch mein "Seien

b, c \in ℝ \cup {- \infty, \infty}

..." ins Leben gerufen. :-)
Ich hätte normalerweise mit

ε > 0

argumentiert (zu jedem

ε > 0

gibt es einen Häufungspunkt

h

mit

a - \frac{ε}{2} < h \leq a

und daher unendlich viele Folgenglieder mit

| a_{n} - h | < \frac{ε}{2};

für diese ist

a_{n} > h - \frac{ε}{2} > a - ε),

aber damit ich die uneigentlichen Häufungspunkte

+ \infty

und

- \infty

erfassen konnte, wo man ja nicht mit "

\infty - ε

" argumentieren kann, habe ich

b

statt

a - ε

geschrieben; entsprechend steht

c

im Prinzip für

a + ε

.

Ich hoffe, dass wenigstens die Tatsache, dass das System hier stets das Zeichen

\supset

einsetzt, wo man

s u p

schreiben will, nicht noch zusätzlich verwirrt hat

. .

anonymous

12:29 Uhr, 05.12.2009

ich stehe immer noch auf den schlauch, ich verstehe den beweis irgendwie nicht

hagman aktiv_icon

12:52 Uhr, 05.12.2009

Nochmal von vorn und sag mal, wo genau du hängst:

(1)

Betrachten wir vorerst den Fall, dass

a :=

limsup

a_{n} \in ℝ

gilt.

(2)

Insbesondere ist

(a_{n})

nach oben beschränkt,

d . h

. es gibtein A mit

a_{n} < A

für alle

n \in ℕ

(3)

Nach eurer Definition ist das das Supremum aller Häufungspunkte von

(a_{n})

.
(4)

D . h . :

Für jeden Häufungspunkt

h

von

(a_{n})

gilt

a \geq h

und zu jedem

ε > 0

gibt es einen HP

h

mit

h > a - ε

.

Ich behaupte jetzt:
1. Für

b < a

gilt: Es gibt unendlich viele

n \in ℕ

mit

a_{n} > b

2. Für

c > a

gilt: Es gibt höchstens endlich viele

n \in ℕ

mit

a_{n} \geq c

Beweis zu 1:

(5)

Sei

h

ein HP mit

h > \frac{a + b}{2}

und sei

ε = \frac{a - b}{2}

(6)

Dann ist

ε > 0

und es gibt unendlich viele

n \in ℕ

mit

| a_{n} - h | < ε

(7)

Für diese unendlich vielen

n

gilt dann

a_{n} > h - ε > \frac{a + b}{2} - \frac{a - b}{2} = b

□

Beweis zu 2.

(8)

Gibt es unendlich viele Folgenglieder mit

a_{n} \geq c,

so haben diese nach Bolzano-Weierstraß einen Häufungspunkt.

(9)

Dieser muss

\geq c

sein - Widerspruch.

□

Jetzt zeigen wir

lim_{n \to \infty} s u p {a_{k} | k \geq n} = a

(10)

Sei

ε > 0

gegeben.

(11)

Laut 2. oben gibt es ein

N \in ℕ

mit

a_{k} < a + \frac{ε}{2}

ür alle

k > N

(12)

Daher gilt

s u p {a_{k} | k \geq n} \leq a + \frac{ε}{2} < a + ε

für alle

n > N

(13)

Andererseitts gibt es wegen 1. oben zu jedem

n \in ℕ

ein

k > n

mit

a_{k} > a - ε

(14)

Daher gilt

s u p {a_{k} | k \geq n} > a - ε

für alle

n > N

(sogar für alle

n \in ℕ)

(15)

Folglich

| s u p {a_{k} | k \geq n} - a | < ε

für alle

n > N

(16)

Folglich

lim_{n \to \infty} s u p {a_{k} | k \geq n} = a

(zumindest im Fall

a \in ℝ)

anonymous

14:35 Uhr, 05.12.2009

Hallo,

ich habe die gleiche Aufgabe gerade vor mir und verstehe Teile des Beweises nicht und zwar:

(5)

Wieso definierst du

h > \frac{a + b}{2}

und

ε = \frac{a - b}{2}

(7)

Wieso gilt hier

a_{n} > h - ε

(9)

Hier lese ich: Dieser muss

\geq c

sein - Widerspruch.\quad\square . Was soll denn da stehen. Denke - Widerspruch.\quad\square soll da nicht stehen und mein PC zeigt es mir nur falsch. Könntest Du es mir in Worten aufschreiben und die Formeln weglassen, damit ich weiß, was da stehen soll? Wäre super :-)

(11)

Wieso definierst du

a_{k} < a + \frac{ε}{2}

(12)

Wieso heißt es "für alle

n >

N" ?

Würde mich freuen, wenn Du mir da helfen könntest.

Lg

anonymous

14:50 Uhr, 05.12.2009

für mich gilt das gleich wei bei mathestudentin, zudem verstehe ich nicht bei

(2)

warum

a_{n}

nach oben beschränkt sein soll, da ist doch irgendeine folge, du weißt doch gar nicht ob sie nach oben beschränkt ist.
Zudem verstehe ich

(6)

nicht.
Schritt

(13)

ist mir zudem auch nicht ganz klar. Wie kommt man auf

a - ε

anonymous

14:29 Uhr, 06.12.2009

hat denn keiner eine idee? ich versteh den beweis oben nicht! Bin hier echt am verzweifeln!

anonymous

16:00 Uhr, 06.12.2009

ich verstehe nicht den beweis für 1. ,besonders den schritt von 6 nach 7

kannst du mir das erklären,hagman?

ArnoNuem aktiv_icon

22:40 Uhr, 06.12.2009

Hab mir den Beweis zwar noch nicht so wirklich genau angeguckt, aber von 6 nach 7 passiert ja eig nicht so viel...
Bei 7 steht ja eig nur, dass ab einem bestimmten

n (0)

unendlich viele Folgenglieder innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen. Und dann hat der Hagman einfach die Sachen von oben eingesetzt...

anonymous

10:44 Uhr, 07.12.2009

ich brauche dringend diesen beweis, aber ich verstehe wie gesagt manche dinge nocht nicht richtig!
Bin echt am verzweifeln.

Juliia aktiv_icon

11:04 Uhr, 08.12.2009

Hi!
Estrella du hast aber falsche Definition für limsup und liminf gegeben. Limsup ist der grösste Grenzwert einer Folge und liminf ist der kleinste Grenzwert einer Folge!

anonymous

20:51 Uhr, 08.12.2009

hi juliia
nein habe ich nicht, guck mal genau in den büchern und in den vorlesungsunterlagen nach.
limsup ist der größte häufungspunkt einer folge und liminf der kleinste.
Diese häufungspunkte sind natürlich Grenzwerte, aber von verschiedenen Teilfolgen von

a_{n}

Zudem kann eine folge nur einen grenzwert haben.

hagman aktiv_icon

22:03 Uhr, 08.12.2009

Ich hatte den Thread ein paar Tage nicht im Blick.

Zu

(2) :

Bei

(1)

hatte ich mich vorerst auf den Fall beschränkt, dass limsup in

ℝ

ist. Für den Fall limsup

= \infty

wollte ich gesondert erwähnen, wie man ihn ebenfalls erschlagen kann, der Einfachheit hatt ich micht bei dem nummerierten Beweis aber auf endliches limsup eingeschränkt. Dann ist aber die Folge insgesamt (nach oben) beschränkt.
(Ich habe durch die Forderung

a \in ℝ

auch limsup

= - \infty

ausgeschlossen, was ich aber nicht hier benutze, um Beschränktheit nach oben zu folgern, sondern erst im Weiteren, wenn ich Ausdrücke wie

a - ε

verwende)

Zu

(5) :

Es braucht a selbst ja kein Häufungspunkt zu sein (zumindest unmittelbar nach der Definition als supremeum - tatsächlich ist die Menge der Häufungspunkte abgeschlossen). Ich kann nur benutzen, dass beliebig knapp drunter ein Häufungspunkt ist. Da ich von zum Häufungspunkt führenden Folgengliedern auch nur sagen kann, dass sie "in der Nähe" sind, mache ich das typische epsilon/2-Argument, hier mit dem vorgegebenen Abstand

(a - b),

nimm also einen HP

h,

der um weniger als

\frac{a - b}{2}

unterhalb a liegt und dann Folgenglieder, die weniger als

\frac{a - b}{2}

unterhalb

h

liegen, damit diese letztlich oberhalb

b

liegen.

Zu

(7) : | a_{n} - h | < ε

ist dasselbe wie

- ε < a_{n} - h < ε,

woraus

a_{n} > h - ε

folgt - im Primnzip das, was ich gerade mit Worten als Motivatin für die Wahl von

h

angegeben habe.

Bei

(9)

war ein Darstellungsfehler. Das quad und square sollte einfach nur das Beweisende kennzeichnen

(11) : \frac{ε}{2}

wieder, um etwas Luft für ein weiteres

\frac{ε}{2}

zu haben, ähnlich wie oben.

(12) :

Die 2. schon bewiesene Behauptung von mir sagt (das war eigentlich schon in

(11)),

dass es zu

c := a + \frac{ε}{2}

nur endlich viele "Ausreißer" gibt. Also gibt es jenseits des letzten Ausreißers keine mehr. Mit anderen Worten: Wenn ich nur

N

groß genug wähle, gilt

a_{n} < c

für alle

n > N

. Wenn

a_{n} < a + \frac{ε}{2}

für alle

n > N,

dann ist

a + \frac{ε}{2}

für

n > N

eine obere Schranke von

{a_{k} | k \geq n}

(denn auch

k > N,

also

a_{k} < a + \frac{ε}{2});

somit ist das Supremum dieser Menge

\leq a + \frac{ε}{2}

(13) :

b := a - ε

gibt es laut Aussage 1 unendlich viele

k

mit

a_{k} > b

. Wenn ich nur die die endlich vielen

k \leq n

ausschließe, bleiben also immer noch unendlich viele mit

k > n

übrig

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

693122

690408

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?