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limsup der n-ten wurzel n! durch 3n

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert/ Limes

analysisyay aktiv_icon

10:36 Uhr, 23.11.2019

Werte Damen und Herren,

ich habe eine Frage bezüglich des Limes.
Beim Berechnen des limsup eines ak einer Potenzreihe bin ich auf folgenden Ausdruck gestoßen, wo ich eher davon ausgegangen wäre, dass der gegen unendlich oder 0 geht, ich aber laut WolframAlpha einen Grenzwert von

\frac{1}{3} \cdot e

rauskriegen soll.

Hier die Rechnung:

lim_{n \to \infty} | \frac{\sqrt[n]{n!}}{3 n} | \to

lt. WA

\to \frac{1}{3} e

Ich bin für jede Hilfe dankbar, ich will wirklich verstehen wie man bei einem solchen Beispiel diesen limes richtig anwendet, denn ich werde es sicherlich nochmal brauchen in anderer Form!

(Ich habe bei einem anderen Beispiel beweisen können, dass die

\sqrt[n]{n!}

gegen unendlich konvergiert. Daher auch die Verwirrung zum Teil)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

10:55 Uhr, 23.11.2019

Hallo,

ich habe es nicht nachgerechnet, aber vielleicht hilft es, den (natürlichen) Logarithmus des Ausdrucks zu betrachten?!

Mfg Michael

analysisyay aktiv_icon

11:08 Uhr, 23.11.2019

Ich habe den Zähler auch wirklich so betrachtet und komme darauf das mein Zähler gegen unendlich konvergeirt:

lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \cdot ln (n!)} = \frac{1}{n} \cdot (ln 1 + ln 2 + ln 3 ... . + ln (n))

> \frac{1}{2} \cdot (ln (1) + ln (n)) = \frac{ln (n)}{2} \to \infty

Somit habe ich dann stehen

\to lim_{n \to \infty} \frac{e^{\infty}}{3 \frac{n}{n}} \to \frac{\infty}{3} \to \infty

HAL9000

11:16 Uhr, 23.11.2019

Tatsächlich ist

lim_{n \to \infty} ∣ \frac{\sqrt[n]{n!}}{3 n} ∣ = \frac{1}{3 e}

, das obige

\frac{1}{3} e

ist demnach falsch.

Kann ermittelt werden über die Stirlingsche Näherungsformel der Fakultät. Oder man berechnet den Konvergenzradius über das Quotienten- statt das Wurzelkriterium, da kommt das natürlich auch raus, sofern der Grenzwert des Koeffizientenquotienten denn existiert (was hier der Fall ist).

analysisyay aktiv_icon

11:30 Uhr, 23.11.2019

habe mich verschrieben!
vielen Dank, ich probiere das gleich mal aus.

analysisyay aktiv_icon

11:45 Uhr, 23.11.2019

Mit dem Quotientenkriterium war's dann recht einfach. Stirling haben wir noch nicht gemacht und deswegen bin ich beim WK angestanden.
Danke.

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