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lokale Extrema einer Kurvenschar

Schüler Gymnasium,

Tags: e-Funktion, Extremstellen, Kurvenschar, Kuvendiskussion

Sefa1 aktiv_icon

20:05 Uhr, 11.03.2017

Hallo,

ich habe eine Frage zur Bestimmung der lokalen Extremstellen der Funktionsschar fa(x)=

a \cdot e^{x} - e^{- x}

Zunächst einmal habe ich die Ableitungen raus:

fa'(x)=

e^{x} \cdot a + e^{- x}

fa''(x)

= e^{x} \cdot a - e^{- x}

fa'''(x)=

e^{x} \cdot a + e^{- x}

Setze ich fa'(x)=0, so erhalte ich ich

x = \frac{ln (- a)}{- 2}

Somit gilt diese Extremstelle also nur für Werte, die kleiner als 0 sind.

Dies dann in die 2. Ableitung eingesetzt, ergibt 0.
In die 3. Ableitung eingesetzt, ergibt dass dann meiner Rechnung nach am Ende fa(x)=

- 2 \cdot a^{\frac{1}{2}}

Ich hätte damit also einen Rechts-Links-Sattelpunkt vorliegen, falls

a < 0

ist und einen Rechts-Links-Sattelpunkt vorliegen, falls

a > 0

ist. Da Ersteres aber Vorraussetzung für den Sattelpunkt ist, muss, wenn überhaupt, immer ein Rechts-Links-Sattelpunkt vorliegen. Das Problem ist, dass ich keinen Sattelpunkt erkenne, wenn ich mir die Funktionsgleichung anschaue, was de facto heißt, dass ich ja falsch gerechnet haben müsste. Daher hier mal meine detailiierte Rechnung für fa'(x)=0

e^{x} \cdot a + e^{- x} = 0

e^{x} \cdot (a + e^{- (2 x)}) = 0

e^{x} = 0

oder

- a = e^{- 2 x}

e^{x}

kann den Wert 0 nicht annehmen, also verkürze ich das ganze an dieser Stelle:

ln (- a) = ln (e^{- 2} x)

ln (- a) = - 2 x

x = \frac{ln (- a)}{- 2}

Leider wüsste ich nicht, wo mein Fehler liegen sollte. Deswegen wäre es nett, wenn mir jemand behilflich sein könnte. Denn meiner Rechnung nach liegt eine Extremstelle bzw. Sattelstelle vor, der Taschenrechner zeigt aber, egal wie ich a wähle, keine an.

Danke schonnmal!

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

abakus

20:11 Uhr, 11.03.2017

Hallo,
der Logarithmus ist nur für Zahlen >0 definiert.
ln(-a) existiert somit nur, wenn a selbst negativ ist.
Hast du es mal mit a=-1 oder a=-2 probiert?

m23456 aktiv_icon

20:46 Uhr, 11.03.2017

Irgendwo hast du einen Fehler... das a müsste negativ definiert sein.

- a \cdot e^{x} + e^{- x} = 0

\Leftrightarrow a \cdot e^{x} = \frac{1}{e^{x}}

\Leftrightarrow \frac{1}{a} = e^{2 x}

\Leftrightarrow \frac{ln (\frac{1}{a})}{2} = x

Sefa1 aktiv_icon

22:29 Uhr, 11.03.2017

Das meinte ich ja bereits. Wenn Extrema vorliegen, müsste a negativ sein. Das Problem ist nur, dass ich für negative

a, z . B

. für

a = - 1,

zwar eine Wendestelle bei

x = 0

habe, aber halt keine Sattelstelle. Zeichne ich mir die Ableitungsfunktion in den Taschenrechner, sehe ich auch, dass diese keine Nullstelle besitzt. Der Berechnung nach komme ich aber auf eine Nullstelle der ersten Ableitung. Daher müsste ja eigentlich irgendwas bei meiner Berechnung für lokale Extrema nicht in Ordnung sein, ich verstehe nur nicht was...

abakus

22:55 Uhr, 11.03.2017

"zwar eine Wendestelle bei x=0 habe, aber halt keine Sattelstelle. "

Wen stört das? Du hattest eine Frage zur Berechnung von Extremstellen.
Wie lautet denn die Originalaufgabe?

PS: Für a=-1 hast du bei x=0 keine Wendestelle, sondern eine Extremstelle.

abakus

23:08 Uhr, 11.03.2017

Hallo,
die roten Graphen sind für a>0,
die blauen für a<=0.
Sattelpunkte gibt es nie.
Für a>0 gibt es Wendepunkte, für a<0 Extrempunkte.
Für a=0 ist die x-Achse Asymptote, und es gibt weder Extrem- noch Wendepunkte.

m23456 aktiv_icon

11:03 Uhr, 12.03.2017

Sefa, das stimmt nicht... Die Ableitung ist sehr wohl bei

- x = \frac{ln (\frac{1}{a})}{2} = 0

Deine Formel mit

\frac{ln (a)}{2}

ist falsch.

Sefa1 aktiv_icon

15:06 Uhr, 12.03.2017

Alles klar, dann lag es wohl daran, dass das Bild auf dem Taschenrechner so unübersichtlich aussah, dass ich keine Extremstellen erkennen konnte.

\circ m 23456

Warum ist meine Berechnung denn falsch?

a \cdot e^{x} - e^{- x} = e^{x} (a + e^{- (2 x)})

Damir gilt also:

e^{- (2 x)} = - a

- 2 x = ln (- a)

x = \frac{ln (- a)}{- 2} = \frac{ln (- \frac{1}{a})}{2}

Damit gilt dies also nur für Werte, die kleiner 0 sind.

Wahrscheinlich habe ich dann bei der hinreichenden Bedingung einen Fehler gemacht, da sie für negative a dann ja ungleich 0 sein müsste, obwohl ich 0 heraus hatte, aber wo liegt denn der Fehler, wenn ich die erste Ableitung 0 setze?

ledum aktiv_icon

19:53 Uhr, 13.03.2017

Hallo
es ist kein Fehler die erste Ableitung

= 0

zu setzen, nur muss man dann erkennen dass es für

a > 0

keinen Wert bzw keine Lösung gibt,

d . h,

die Funktion mit

a \geq 0

hat keine wagerechte Tangente. aber die zweite Ableitung an einer nicht existierenden Stelle zu berechnen geht wohl auch nicht.
Gruß ledum

m23456 aktiv_icon

12:40 Uhr, 14.03.2017

Okay, ich habe das Minus nicht gesehen... Aber trotzdem sind die Nullstellen vorhanden, an der Stelle die ich dir genannt habe.

Sefa1 aktiv_icon

21:53 Uhr, 14.03.2017

Alles klar, danke euch! Dass a für Extremstellen negativ sein muss, war mir wohl klar, mein Problem war da wohl eher graphischer Natur. Zudem habe ich die hinreichende Bedingung falsch berechnet, da ich ja einen Sattelpunkt berechnet hatte, der aber nicht vorlag. Jedenfalls danke ich euch, auch wenn es etwas zäh war ;-)

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