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max volumen quader

Schüler Gymnasium,

Tags: Quader, Volumen

 
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mathe12345

mathe12345 aktiv_icon

23:28 Uhr, 16.09.2012

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Guten Tag,
Ich hatte diesen lösungsvorschlag zur berechnung des maximalen volumens eines quaders entdeckt, meine frage ist jetzt wie man am ende auf x=4,042336219 und x=12,85766378 kommt ?

x: Seitenlänge eines der vier Quadrate
→x ist gleichzeitig die Höhe des Quaders

Länge des Quaders: 29,7−2x

Breite des Quaders: 21−2x

V(x): Volumen des Quaders in Abhängigkeit von x
v(x)=(29,7−2x)⋅(21−2x)⋅x
=4x3−101,4x2+623,7x

V′(x)=12x2−202,8x+623,7
V′′(x)=24x−202,8

V′(x)=0
→12x2−202,8x+623,7=0
→x=4,042336219 ∨ x=12,85766378

V′′(4,04)<0→ Maximum
V′′(12,86)>0→ Minimum

x= 4,04cm
a= 21,62cm
b= 12,92cm
V= 1128,50cm²
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Edddi

Edddi aktiv_icon

07:35 Uhr, 17.09.2012

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... schon die beiden Zahlenwerte 21 und 29,7 sollten dir bekannt vorkomen. Es handelt sich um eine A4-Größe.

Es geht also darum, z.B. aus einem A4-Blatt an den 4 Ecken jeweils ein Quadrat der Größe x⋅x rauszuschneiden. Dann lassen sich die 4 vorstehenden Rechtecke hochklappen, so das ein Quader entsteht (ohne Deckel, wie eine offene Box)

Gesucht ist nun das x, für den das Volumen (was man ereinfüllen könnte) maximal wird.

Nun stellt man die Volumenformel auf:

V=(29,7-2⋅x)⋅(21-2⋅x)⋅x

Dies ergibt eine qubische Gleichung.

Diese könntest du dir nun in ein Koordinatenkreuz für jedes x von 0 bis 212 eintragen.

Da dein x kleiner sein muss als die Hälfte der Blattbreite von 21 fällt also die Lösung mit 12,8... sowiso raus.

Bei x=4,04 sollte dann ein Maximium (Hochpunkt) der Volumenfunktion sein.

Rein rechnereich lässt sich nun dieser Hochpunkt über das Nullsetzen der 1. Ableitung der Volumenfunktion finden.

V'(x)=0

Ob es sich dabei auch um ein Maximum handelt, bekommt man raus, in dem man diese Stelle XS in die 2. Ableitung der Volumenfunktion einsetzt. Der Funktionswert sollte dann <0 sein.

V''(xS)<0

So, dies sollte erstmal reichen. Wenn du noch fragen hast, dann poste.

;-)
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