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maximaler Abstand zwischen 2 Funktionen

Schüler Gymnasium,

Tags: Trigonometrie

mairiechen aktiv_icon

17:11 Uhr, 25.02.2012

Hallo! Ich komme bei dieser Aufagbe nicht weiter:

den maximalen Abstand zwischen zwei Funktionen zu errechnen

f (x) = 8 \cdot sin (π

durch

12 \cdot (x - 8.5)) + 21

g (x) = 3 \cdot sin (π

durch

12 \cdot (x - 12)) + 18

mir wurde gesagt ich müsste

d (x) = | f (x) - g (x) |

rechnen
aber ich komme dabei auf kein Ergebnis..

bitte um Hilfe :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

pleindespoir aktiv_icon

18:36 Uhr, 25.02.2012

DEr maximale Abstand meint vermutlöich die Stelle an der die beiden Funktionswerte am weitesten voneinander entfernt sind. Man kann das durch den Betrag der Differenz der Funktionen ausdrücken, wie in dem Ansatz völlig richtig dargestellt.

Es entsteht nun die Differenzfunktion, deren Extrema zu untersuchen sind.

Wie nur findet man Extremstellen?

Die Antwort verschlüssel ich mal, um es nicht zu leicht zu machen:

Klostervorsteher-t + Steiggerät -er + Krötentier -ke+g

Rabanus aktiv_icon

13:56 Uhr, 26.02.2012

. .

mairiechen aktiv_icon

14:31 Uhr, 26.02.2012

Ja, das ist mir bewusst, dass ich dann die Extremstellen der Differenzfunktion ausrechnen muss. Aber ich hab ein Problem bei dem rechnerischen Teil. Also wie man die beiden Funktionen subtrahiert. Klingt jetzt ein bisschen komisch :-)

Rabanus aktiv_icon

16:39 Uhr, 26.02.2012

Die Bestimmungsgleichung für die Extremwerte

x

f' (x) = 0 = 8 cos (π \frac{2 x - 17}{24}) + 3 cos (π \frac{x}{12})

ist explizit nicht zu lösen.

PhysMaddin aktiv_icon

16:41 Uhr, 26.02.2012

Wie sehen die Funktonen denn aus?

So

f (x) = 8 \cdot \frac{sin (π)}{12} \cdot (x - 8.5) + 21

oder so

f (x) = 8 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 8.5)) + 21

mairiechen aktiv_icon

17:32 Uhr, 26.02.2012

Die sehen so aus :

f (x) = 8 \cdot sin (\frac{π}{12} \cdot (x - 8.5)) + 21

Aber man kann dich nicht einfach

8 sin - 3 sin

rechnen usw. oder?

PhysMaddin aktiv_icon

17:35 Uhr, 26.02.2012

Kleiner Scherz :-)

@rabanus: Ich gehe mal von Deiner Gleichung aus ( hab nicht nachgerechnet)

0 = 8 \cdot cos (π \cdot \frac{2 x - 17}{24}) + 3 \cdot cos (π \cdot \frac{x}{12})

cos (π \cdot \frac{2 x - 17}{24}) = - \frac{3}{8} \cdot cos (π \cdot \frac{x}{12})

Jetzt gilt

cos (π \cdot \frac{2 \cdot x - 17}{24}) = cos (π \cdot 2 \cdot \frac{x}{24}) \cdot cos (17 \cdot \frac{π}{24}) + sin (π \cdot 2 \cdot \frac{x}{24}) \cdot cos (17 \cdot \frac{π}{24})

also

cos (π \cdot 2 \cdot \frac{x}{24}) \cdot cos (17 \cdot \frac{π}{24}) + sin (π \cdot 2 \cdot \frac{x}{24}) \cdot sin (17 \cdot \frac{π}{24}) + \frac{3}{8} \cdot cos (π \cdot \frac{x}{12}) = 0

cos (π \cdot \frac{x}{12}) \cdot (cos (17 \cdot \frac{π}{24}) + \frac{3}{8}) + sin (π \cdot \frac{x}{12}) \cdot sin (17 \cdot \frac{π}{24}) = 0

sin (17 \cdot \frac{π}{24}) = 0,03

(cos (17 \cdot \frac{π}{24}) = 1,37

1,37 \cdot cos (π \cdot \frac{x}{12}) + 0,03 \cdot sin (π \cdot \frac{x}{12}) = 0

\frac{sin (π \cdot \frac{x}{12})}{cos (π \cdot \frac{x}{12})} = tan (π \cdot \frac{x}{12}) = - \frac{1,37}{0,03} = - 45,67

π \cdot \frac{x}{12} =

arctan(-45,67)

x =

12*arctan(-45,67)/pi

PhysMaddin aktiv_icon

17:50 Uhr, 26.02.2012

Nein, kannst Du nicht, da die Argumente unterschiedlich sind

f (x) = 8 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 8.5}{12}) + 21

g (x) = 3 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 12}{12}) + 18

f (x) - g (x) = 8 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 8.5}{12}) + 21 - 3 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 12}{12}) - 18

= 8 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 8.5}{12}) + 3 - 3 \cdot sin (π \cdot \frac{x - 12}{12})

Ableitung nach

x

(Kettenregel, innere mal äussere Ableitung)

u (x) = π \cdot \frac{x - 8.5}{12}

u´(x)=

\frac{π}{12}

b (x) = sin (a \cdot x)

b´(x)=a*cos(ax)

mairiechen aktiv_icon

18:04 Uhr, 26.02.2012

Ich kann die Rechnung leider irgendwie nicht nachvollziehen von f(x) - g(x).

Also leite ich beide Funktionen ab, subtrahiere sie und setze sie dann auf 0 ?

Rabanus aktiv_icon

20:10 Uhr, 26.02.2012

@ PhysMaddin

Ok, im Prinzip richtig:

π \cdot \frac{x}{12} = a r c t a n (- 45,67)

Nur das Argument von

a r c t a n

ist falsch !

PhysMaddin aktiv_icon

20:21 Uhr, 26.02.2012

Kann sein. Wie wäre es Deiner Meinug nach richtig?!

Rabanus aktiv_icon

20:36 Uhr, 26.02.2012

Die Nullstellen für

f' (x)

ergeben sich vollständig mit

x_{k} = \frac{12}{π} (a r c t a n \frac{- 3 - 8 c o s (\frac{17}{24} π)}{8 s i n (\frac{17}{24} π)} - k π)

mit

k = 0; \pm 1; \pm 2; \dots

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