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monotonie bei Polstelle
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Tags: Funktionalanalysis
 
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Hallo ich habe hier eine Funktion, die im Grunde streng Monoton fallend ist . Diese Funktion besitzt jedoch eine Polstelle. Hat eine Polstelle der Definition nach auswirkungen auf die Monotonie? Einfach: Kann eine Funktion trotz Polstelle streng monoton sein? Danke, Peter Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und die Ableitung ist durchweg negativ. Dennoch ist nicht monoton fallend, denn obwohle . Die negative erste Ableitung zeigt lediglich, dass *lokal* monoton fallend ist. Wenn der Definitionsbereich nicht zusammenhängend ist, folgt hieraus nicht die globale Monotonie. Ähnliche Sachlage: Sei . Dann ist f:-D)->RR ist auf danz stetig differenzierbar und es gilt für alle . Demnach ist *lokal* konstant, aber noch lange nicht konstant. |
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Wenn ich dich richtig verstanden habe ist die Funktion also nicht monoton, da der Definitionsbereich nicht zusammenhängt? |
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Nicht ganz. Sie ist nicht monoton fallend, weil es gibt mit und trotzdem . Der nicht zusammenhängende Definitionsbereich ist lediglich der Grund, weshalb der Schluss von "Für alle ist f'(x)<0" auf " ist monoton fallend" unzulässig ist. Wenn man diesen Schluss beweist, verwendet man nömlich auf jeden Fall den Zusammenhang, etwa wie folgt: SATZ: Sei zusammenhängend, stetig und im Inneren von differenzierbar und für alle im Inneren von D. Dann ist streng monoton fallend. BEWEIS: Sei mit . Mit dem Mittelwertsatz der Differnzialrechnung folgt, dass es ein gibt mit . Mit und folgt Der Zusammenhang wird im Mittelwertsatz ausgenutzt: muss auf dem Intervall definiert sein! - Um nochmal auf die Ausgangsfrage zurückzukommen: Sei Funktion mit Polstelle also definiert auf einem punktierten Intervall mit . Dann ist in der Nähe von unbeschränkt, . es gibt inder Nähe von mit für jedes vorgegebene . Falls ist, folgt entwder oder was mit keiner Form der Monotonie vereinbar ist. |
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Danke, das klingt ja doch ein wenig komplizierter. Eigentlich ist bei dieser Aufgabe in der Aufgabenstellung die erste Ableitung als Stetigkeitskriterium genannt. Wenn ich die Aufgabe jetzt danach löse mach ich alles richtig, wenn ich schreibe das die Dunktion im Intervall "Polstelle") und ("Polstelle", stetig ist? Dein Lösungsansatz geht bisher weit über das was wir gelernt haben hinaus. |
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Hm, was du jetzt als Aufgabenstelle umreißt, sieht ziemlich anders aus, als was du ursprünglich gefragt hattest. Ohne die genaue Aufgabenstellung möchte ich mich deshalb nicht sofort zu einem "Ja" hinreißen lassen... |
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Bei der Aufgabe handelt es sich um eine Kurvendiskussion. Unter anderem wird auch nach der Monotonie gefragt. Laut Vorlesung haben wir folgende Kriterien für Monotonie: oder . Die zweite Bedingung ist aufgrund einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel nicht erfüllt. Ist die Funktion also in den oben genannten Intervallen monoton, gesamt betrachtet jedoch nicht? Gibt es hier im Forum eine Möglichkeit den Graphen einer Funktion zu skizzieren? |
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Ah so. Wie oben bemerkt ist nur das zweite Kriterium allgemein gültig, das Ableitungskriterium nur "lokal". In diesem Sinne ist beispielsweise abschnittsweise streng monoton fallend, . einersaits in und andererseits in . Typischerweise wirst du auch bei anderen Funktionen lediglich abschnitssweise Monotonie betrachten. Eine Funktion ist beispielsweise von einem lokalen Minimum bis zum nächsten lokalen Maximum (ohne Definitionslücken dazwischen) immer monoton steigend, dann typischerweise wieder fallend usw. |
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