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monotonie/krümmungsverhalten
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Funktion, Monotonieverhalten
 
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hallo! die aufgabe lautet: bestimmen sie die (maximalen) Intervalle, auf denen die Funktion f(x)= x^3+3x^2-45x+9 1.(streng) monoton steigend bzw. fallen und 2.(streng) konvex bzw. konkav sind ich weiß leider überhauptb nicht, was ich mit dieser aufgabe anfangen muss...wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte-der verständlich erklären kann(: danke! |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi Dann fang ich mal mit ein paar Erklärungen an: Intervall: Ein Bereich auf der x-Achse (und den zugeordneten y-Werten) monoton steigend: Eine Funktion steigt/'geht nach oben'; Steigt der x Wert, steigt auch der y-Wert, mathematisch: wenn x1>x2 -> f(x1)>=f(x2) streng monoton steigend. Es geht immer nach oben: f(x1)>f(x2), d.h es darf keinen Sattelpunkt geben fallen: äquivalent zu steigend konvex: Nach oben geöffnet; wenn vom Beginn eines Intervalls bis zum ende eine Gerade, die den Graphen an diesen beiden Stellen schneidet, gezogen wird und alle Punkte des Graphen unterhalb der Geraden liegen, so ist er in diesem Bereich konvex; mathematisch: f'(x) ist (streng)monoton steigend oder f''(x)>=0, ersteres ist recht schnell graphisch lösbar, das zweite dafür einfacher zu rechnen, kann aber weniger Ergebnisse bringen. konkav: nach unten geöffnet Weiteres um die Aufgabenbeschreibung zu vereinfachen: Aufgrund von graphischen Überlegungen: Links von einem maximum ist ein Graph streng monoton steigend, rechts davon streng monoton fallend Begrenzt wird das durch einen Sattelpunkt (dann nur noch monoton fallend), einen Wendepunkt (ab hier wird der Betrag der Steigung wieder kleiner) und dann einem Minimum, von dem ab der Graph wieder anfängt zu steigen. Deine Aufgabe beginnst du am besten, indem du dir den Graphen zeichnest (vom Computer zeichnen lässt). Dann werden die Intervalle schnell deutlich. Ansonsten wie oben genannt erstmal die interessanten Punkte berechnen (Extrema, Wendepunkte) und das Verhalten im unendlichen bestimmen. Diese Ergebnisse kannst du dann entsprechend den obigen Erklärungen deuten. z.B. für lim x-> -oo geht y-> -oo dann ist die Steigung des Graphen bis zum ersten Extremum (Maximum) Sreng monoton steigend. Also ist f(x) streng monoton steigend im Intervall ]-oo|-5[ und auch konkav. Kommst du mit dieser Erklärung erstmal zu recht um ein bischen zu rechnen oder sagt dir das überhaupt nichts? Oder hast du nur Probleme mit bestimmten Abschnitten? Aus deiner Fragestellung lässt sich nicht wirklich rauslesen, was du kannst. Die Rechnung hab ich mal weggelassen. falls du sie brauchst, meld dich noch mal. Oder poste deine Ergebnisse zum vergleichen. Grüße |
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vielen Dank für deine Mühe! also ich beschreib mal wie weit ich gekommen bin: Min: (3; -72) Max: (-5 ; 184) W : (-1; 56) habe mir das ganze dann mal skizziert und bin dadurch zum Ergebnis gekommen, dass die Funktion im Intervall 8-oo ; -5) str. mon. steigt (-1;3) str. mon. fällt (3; +oo) str. mon. steigt wobei y in I (-oo; 3) konvex und in I (3; +oo) konkav sein müsste -stimmt das so weit? mein Hauptproblem ist jetzt das ganze rechnerisch zu belegen bzw. erst mal drauf zu kommen...denke, dass ich die grenzwerte vergleichen muss-allerdings muss ich zugeben, dass ich generell ein Problem mit grenzwerten hab... lg |
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Sieht soweit schonmal ganz gut aus. Was macht die Funktion im Intervall [-5;-1]? Hast du den Bereich vergessen oder weißt du nicht was da passiert? Oder ist es ein Tippfehler? konkav: ]-oo;-1[ konvex: ]-1;+oo[ Verbinde z.B. mal f(-10) mit f(-2). Dann siehst du dass alle Punkte des Graphen über dieser Geraden sind, d.h sie ist konkav. Rechnerisch: Monotonie f(x) soll steigend sein, d.h die steigung muss positiv sein: f'(x)>0 f'(x)=3x^2+6x-45 -> x1=-5 x2=3 Bei x1 bzw x2 ist f'(x)=0. Du musst also Werte die kleiner -5 zwischen -5 und 3 liegen bzw größer als 3 sind einsetzen Konvex/Konkav: Wann ist f'(x) steigend bzw fallend? f'(x)=3x^2+6x-45 -> f''(x)=6x+6 (Steigung von f'(x)) Ist f''(x) positiv ist f'(x) steigend und f(x) konvex => f''(x)=0 -> 6*x+6=0 -> x=-1 => Ist x kleiner als -1 ist f''(x) kleiner 0 und f'(x) fallend und f(x) konkav Umgekehrt: x>-1, f'(x) steigend, f(x) konvex Grenzwerte brauchst du dafür nicht zwangsläufig. Welche Probleme hast du denn genau mit ihnen? Wann/Wie man sie einsetzt? Bedeutung? Berechnung? Ist dir der Unterschied zwischen [,(,] bei der Intervallschreibweise klar? Grüße |
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hi, also das intervall hab ich scheinbar übersehen...die runden Klammern/eckigen nach außen gedrehten klammern sind doch ein offenes und die eckigen nach innen gedrehten Klammern ein geschlossenes Intervall-muss aber zugeben, dass mir nicht ganz klar ist, vorallem bei dieser aufgabe, wann es sich um ein offenes bzw. gecshlossenes I handelt (außer natürlich+-oo) ich hab das jetzt so verstanden, dass ich einen beliebigen Wert aus einem Intervall in f'(x) einsetzen muss und überprüfe, ob f'(x) positiv oder negativ ist f'(x) größer gleich null dann ist f(x) monoton wachsend und bei f'(x) kleiner gleich null ist f(x) monoton fallen (dazu gleich eine Frage: was mache ich, wenn f'(x) gleich null ist? da hab ich ja dann ein extremum-aber da ist die funktion doch weder steigend noch fallend) und beim Krümmungsverhalten gehe ich genauso vor, nur dass ich in f''(x) einsetze. mein Problem mit Grenzwerten ist hauptsächlich, dass ich nicht so ganz verstehe, was wie ich vorgehen muss bei der berechnung von links/rechtsseitigen grenzwerten.(z.B. beim Beweisen von Stetigkeit) ansonsten teile ich einfach so lange durch x, so dass fast alles gegen null strebt (für x gegen oo) bis möglichst nur noch "einzelne" Zahlen übrig bleiben. lg |
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Hey Die Intervalle sind, entgegen meiner 2. Antwort, alle geschlossen (abgesehen natürlich von +-oo). Bei einem geschlossenen Intervall, z.B. ]-00;3], geht der Bereich bis 3, bei einem offenen bis 2,9999999... Deine Frage bezüglich f'(x)=0 hast du dir doch schon selbst beantwortet. Eine Funktion ist streng monoton steigend, wenn f(x1)>f(x2) ist. An den extremas beginnt/endet diese Definition. Du kannst sie also in beide Intervalle, das steigende und das fallende, einsetzen. Eine monoton steigende Funktion ist es, wenn f(x1)>=f(x2) es also einen 'Absatz' in der Funktion gibt (d.h. es gibt min. 2 aufeinanderfolgende x-Werte die dem gleichen y-Wert zugeordnet werden). Ist aber eher selten. Als Beispiel fällt mir im Moment nur die Integer-Funktion ein. f'(x) wäre dann in einem Intervall =0 und nicht nur für einen Wert. Das mit den Grenzwerten hört sich auch richtig an. Den Teil, den du nihct verstehst ist aber ein thema für sich. Grüße |
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| vielen dank für deine Hilfe! hat mir wirklich weiter geholfen(; |
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