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n-te Ableitung allgemein bestimmen

Schüler

Tags: Eulersche Zahl

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11:55 Uhr, 13.03.2017

Bestimme allgemein die n-te Ableitung!
Aufgabe:

y = e^{- c \cdot x}

Tue mich schwer

y'

zu bilden. Vielleicht gelingt es mir dann auch die zweite und dritte Ableitung zu bilden. Bitte um Hilfe. Danke vielmals für die Unterstützung im Voraus!
LG

B

Das Ergebnis sollte sein:

y^{n} = {(- 1)}^{n} \cdot c^{n} \cdot

e^(-cx)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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12:02 Uhr, 13.03.2017

Es gilt:

f (x) = e^{g (x)}

f' (x) = e^{g (x)} \cdot g' (x)

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12:09 Uhr, 13.03.2017

Oh, das freut mich, ich hoffe sehr, dass du mir wieder bei der Bewältigung von 3 solcher Aufgaben hilft.
Also:
f'(x) = e^(g(x)*g'(x) = e^(-cx)*(-1)*e^(-cx)
Ich weiß, das dürfte nicht stimmen - die Ableitung (letzter Teil) dürfte falsch sein Bitte dich herzlich um Richtigstellung. Entschuldige! Plötzlich funktioniert das Hochstellen nicht mehr so, wie ich es mir wünsche. Danke!

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12:18 Uhr, 13.03.2017

f' (x) = e^{- c x} \cdot (- c)

Die Ableitung des Exponenten (=Nachdifferenzierung) ist doch sehr einfach, oder?
Hast du meine Formel nicht richtig verstanden?

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12:18 Uhr, 13.03.2017

f' (x) = e^{- c x} \cdot (- c)

Die Ableitung des Exponenten (=Nachdifferenzierung) ist doch sehr einfach, oder?
Hast du meine Formel nicht richtig verstanden?

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12:28 Uhr, 13.03.2017

Doch, die Formel habe ich verstanden. Ich habe falsch abgeleitet, leider. Die Konstant (-c) war der Brennpunkt.
also so:
f'(x) = e^g(x)*g'(x) = e^(-cx) * e^(-cx) *(-c)= 2*e^(-cx)*(-c)
Lieg ich jetzt richtig?
Vielen Dank für die Mühe, die du dir machst, mir das zu erklären. Wenn das stimmt, dann habe ich die Formel kapiert, oder?
LG
B
PS: Warum funktionier bei mir das Hochstellen nicht mehr, weißt du welchen Fehler ich da mache?
Zweite Ableitung:
f''(x) = (-c)*e^(-cx)*(-c)*e^(-cx) = 2*(-c)*e^(cx)

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12:40 Uhr, 13.03.2017

Du musst beim Hochstelleb zwischen

c

und

x

eine Lücke lassen.

f' (x) = e^{- c x} \cdot (- c) \cdot (- c) = e^{- c x} \cdot c^{2}

Es gilt die Faktorregel. Faktoren werden mitgeschleppt.

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13:23 Uhr, 13.03.2017

Danke, supporter. Das - so glaube ich - habe ich jetzt verstanden.
Ich hätte jetzt:
f'(x) = e^-(c x)* c^2
f'' = e^-(c x) * c^4
f'''= e^-(c x) * c^6
Wenn das stimmt, wie muss ich jetzt überlegen, damit ich zum richtigen Ergebnis komm.
Ich bedanke mich ganz herzlich für deine Hilfe, supporter!
PS:
Das mit dem Hochstellen klappt immer noch nicht. obwohl ich zwischen c und x einen Leerabstand gemacht habe.
LG
B

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13:35 Uhr, 13.03.2017

Sorry, oben fehlt ein Strichlein:

f'' (x) = c^{2} \cdot f (x)

f''' (x) = (- c) \cdot c^{2} \cdot f (x) = - c^{3} \cdot f (x)

f^{4} (x) = c^{4} \cdot f (x)

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13:57 Uhr, 13.03.2017

Jetzt bin ich total aus dem Geleise.

f (x) = e^{- c x}

f' (x) = e^{- c x} \cdot (- c) \cdot - c) = c^{2} + f (x)

f'' (x) = c^{2} \cdot (- c) \cdot (- c) \cdot e^{- c x} = c^{4} (f (x)

Was mache ich hier bei diesem Schritt von

f'

f''

falsch?
Danke schon jetzt für die Unterstützung!
LG

B

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14:05 Uhr, 13.03.2017

Bei

f' (x)

ist ein

(- c)

zuviel. Ich hatte ich auf mein Versehen oben (Beitrag

12.40

Uhr) hingewiesen.Da müsste

f'' (x)

stehen nicht

f' (x)

.

Nochmal in aller Ruhe:

f' (x) = - c \cdot f (x)

f'' (x) = c^{2} \cdot f (x)

f''' (x) = - c^{3} \cdot f (x)

f^{4} (x) = c^{4} \cdot f (x)

usw.

Verstanden? :-)

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14:11 Uhr, 13.03.2017

Ja, vielen vielen Dank, das habe ich jetzt verstanden. Was schließt man nun aus diesen Ergebnissen? Ich glaube, man erkennt, dass bei

f'

eine negative Zahl das Ergebnis ist und bei

f''

ein positive Zahl herauskommt. Und das wechselt dann ständig so!

m23456 aktiv_icon

18:38 Uhr, 13.03.2017

Die Funktion ist eine Differentialgleichung.

Das macht die Sache einfacher, da dort in den Ableitungen immer die ursprüngliche Funktion drinsteckt.

y^{(n)} = {(- c)}^{n} \cdot y

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20:18 Uhr, 13.03.2017

Sehr lieb von dir, mir das zu erklären. Ich habe das noch nicht ganz begriffen, warum du

{(- c)}^{n}

e^{- c n}

schreibst.
Ich weiß natürlich, dass das das gleiche ist wie im Auflöser steht. Da steht:

{(- 1)}^{n} \cdot c^{n} \cdot e^{- c n}

Wie kommt man auf

{(- c)}^{n}

?
Bei den Ableitungen sind ja verschieden Ergebnisse.
Ich danke dir für deine liebevolle Hilfestellung schon im Voraus. Dachte schon dazu keine Antwort mehr zu bekommen.
LG

B

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20:18 Uhr, 13.03.2017

Sehr lieb von dir, mir das zu erklären. Ich habe das noch nicht ganz begriffen, warum du

{(- c)}^{n}

e^{- c n}

schreibst.
Ich weiß natürlich, dass das das gleiche ist wie im Auflöser steht. Da steht:

{(- 1)}^{n} \cdot c^{n} \cdot e^{- c n}

Wie kommt man auf

{(- c)}^{n}

?
Bei den Ableitungen sind ja verschiedene Ergebnisse. Konstante:

- c, c^{2}; - c^{3}, c^{4}

Ich danke dir für deine liebevolle Hilfestellung schon im Voraus. Dachte schon dazu keine Antwort mehr zu bekommen.
Gibt es noch jemanden im Forum, der mir dazu eine kurze Erklärung liefert - wie man zum richtigen Ergebnis kommt? Welche Überlegung man da anstellen muss. Danke euch schon im Voraus!
LG

B

Matheboss aktiv_icon

11:43 Uhr, 14.03.2017

a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}

m23456 aktiv_icon

12:35 Uhr, 14.03.2017

Also:

Sei

n \in N

der Zähler der Ableitung

f^{(n)}

1. Wir brauchen das richtige Vorzeichen:

bei

n

gerade haben wir 1 und bei

n

ungerade

- 1

das geht mit

{(- 1)}^{n}

2. Dann haben wir die Potenz des Wachstumsfaktors

c :

für jede Ableitung ein

c

dazumultiplizieren entspricht:

c^{n}

3. Kombiniert:

{(- 1)}^{n} \cdot c^{n} = {(- 1 \cdot c)}^{n} = {(- c)}^{n}

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12:39 Uhr, 14.03.2017

Ganz ganz lieben Dank für diese ausführliche und anschauliche Erklärung. Ich bedanke mich bei allen, die mir so liebevoll geholfen haben. Dank, danke!
LG

B

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