Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » n-te Wurzel aus n

n-te Wurzel aus n

Universität / Fachhochschule

Tags: Folge, Nullfolge

Sukomaki aktiv_icon

11:54 Uhr, 07.11.2022

Guten Morgen,

um nicht einzurosten wiederhole ich gerade Uni-Stoff (Analysis I).

An einer Aufgabe hänge ich jedoch und es wäre schön, wenn mir jemand beim Lösen helfen könnte.

Also :

Gegeben die Folge

a_{n} = \sqrt[n]{n}

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

strebt von unten gegen Eins.

Oder in anderen Worten :

\forall q < 1 : \exists n_{0} \in ℕ : \forall n > n_{0} : \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > q

b_{n} = \sqrt[n]{n} - 1

ist eine Nullfolge.

Ich versuche es mit dem Quotientenkriterium

lim_{n \to \infty} \frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}} - 1}{n^{\frac{1}{n}} - 1}

Mit de l'hopital ist das

lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{{(n + 1)}^{2}} \cdot \frac{(1 - \ln (n + 1)) \cdot {(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}}}{(1 - \ln (n)) \cdot n^{\frac{1}{n}}}

Und da verließen sie ihn auch schon.

Macht das überhaupt Sinn, beim Quotientenkriterium den Grenzwert zu betrachten?

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

12:28 Uhr, 07.11.2022

Beh.:

\forall c \in R_{> 0} \exists S \in N \forall n \in N : n > S \Rightarrow | n^{\frac{1}{n}} - 1 | < c

.

Bew.:

Für

n > S := 1 + \frac{2}{c^{2}}

gilt

\frac{n \cdot (n - 1)}{2} \cdot c^{2} > \frac{n \cdot (S - 1)}{2} \cdot c^{2} = n \geq 1

\Rightarrow

1 \leq n < 1 + c \cdot n + \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \cdot c^{2} + \sum_{k = 3}^{n} c^{k}

\Leftrightarrow

1 \leq n < {(1 + c)}^{n}

\Leftrightarrow

1 \leq n^{\frac{1}{n}} < 1 + c

\Leftrightarrow

0 \leq n^{\frac{1}{n}} - 1 < c

HAL9000

12:32 Uhr, 07.11.2022

Alternative zu b): Offenbar ist

b_{n} > 0

für alle

n \geq 2

. Dann gilt für diese

n

laut Binomischem Satz

n = {(1 + b_{n})}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) b_{n}^{k} > \sum_{k \in {0, 2}} (\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) b_{n}^{k} = 1 + \frac{n (n - 1)}{2} b_{n}^{2}

umgestellt

b_{n}^{2} < \frac{2}{n}

und damit

0 < b_{n} \leq \sqrt{\frac{2}{n}}

. In diesem Sandwich zweier Nullfolgen muss

(b_{n})

auch eine Nullfolge sein.

> Macht das überhaupt Sinn, beim Quotientenkriterium den Grenzwert zu betrachten?

Nicht wirklich, da der Quotientengrenzwert 1 ist. Tatsächlich gilt mit Variablensubstitution

u = \frac{\ln (n)}{n}

die Grenzwertrechnung

lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln (n)} b_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln (n)} (e^{\frac{\ln (n)}{n}} - 1) = lim_{u \to 0 +} \frac{e^{u} - 1}{u} = {(e^{u})}_{u = 0}^{ʹ} = 1

,

d.h., für große

n

gilt asymptotisch

b_{n} \approx \frac{\ln (n)}{n}

Sukomaki aktiv_icon

16:02 Uhr, 07.11.2022

@Gilbert von Greiff

Nach mehrmaligem Lesen habe ich Deinen Beweis nachvollziehen können.

@HAL9000

Danke, das ist leicht und elegant.

Interessant auch die Variablensubstitution. Die kannte ich bisher aus dem Kontext der Quotientengrenzwertbestimmung nicht.

Hat auch jemand einen Ansatz für Aufgabenteil a) ?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

16:23 Uhr, 07.11.2022

Das oben ist zu

b),

was ich nicht davorschrieb...

Es ist dieser Beweis,
bloß im Krebsgang aufgeschrieben
(siehe Anhang).
Mitschrift aus dem Hörsaal vor 7 Jahren
und ein wenig unsauber.
Es wurde da viel Anlauf genommen,
um

a^{n} > b^{n} \Leftrightarrow a > b

für

a, b > 0

verwenden zu dürfen,
was ich oben einfach so mache.

Ich knabber noch an

n^{\frac{1}{n}}

streng monoton fallend für

n > 3 . .

Kartoffelchipsman aktiv_icon

17:18 Uhr, 07.11.2022

Aus

(x^{\frac{1}{x}})' = (e^{\frac{ln (x)}{x}})' = e^{\frac{ln (x)}{x}} \cdot (\frac{1 - ln (x)}{x^{2}}) < 0

für alle

x > e

folgt, dass

n^{\frac{1}{n}}

streng monoton fallend und somit

\frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}}}{n^{\frac{1}{n}}} < 1

für alle

n \geq 3

ist.

Mit

b) (n^{\frac{1}{n}} \to 1 (n \to \infty))

folgt dann auch, dass

\frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}}}{n^{\frac{1}{n}}}

von unten konvergent gegen 1 ist, also

a)

.

Genauer gilt dann für

c, S

wie oben und

n > S

1 - c < \frac{1}{1 + c} < \frac{{(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}}}{n^{\frac{1}{n}}} < 1

Sukomaki aktiv_icon

23:25 Uhr, 07.11.2022

Oben war

S

1 + \frac{2}{c^{2}}

.

Wie groß ist

S

hier?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:02 Uhr, 08.11.2022

Ebenso.
Sagen wir, dass

c < \sqrt{2}

(besser noch

< 1)

zu wählen ist.
Dann ist

S > 2

und

n \geq 3

und wir sind über den Starthubbel weg.
Darauf willst Du doch hinaus, oder ?

Sukomaki aktiv_icon

01:40 Uhr, 08.11.2022

Nein, ich will darauf hinaus, dass ich den letzten Schritt nicht verstehe :

Warum ist

\frac{1}{1 + c} < \frac{(n + 1)^{\frac{1}{n + 1}}}{n^{\frac{1}{n}}}

?

Den Starthubbel berücksichtige ich bei meinen Überlegungen meistens nicht.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:55 Uhr, 08.11.2022

Die Abschätzung folgt direkt aus

1 < {(n + 1)}^{\frac{1}{n + 1}} < n^{\frac{1}{n}} < 1 + c

für alle

n > S

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:56 Uhr, 08.11.2022

< > < > < > \approx \approx \approx < > < > < > \approx \approx \approx < > < > < >

Sukomaki aktiv_icon

02:10 Uhr, 08.11.2022

Ich muss sagen, ich habe etwas Schwierigkeiten mit Deinen Mehrfach-Ungleichungen.

Du hast

a < b < c < d

und folgerst - wenn ich das richtig sehe - daraus, dass

\frac{a}{d} < \frac{b}{c}

Geht das so? Und wenn ja : warum?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:18 Uhr, 08.11.2022

Ja, und

a, b, c, d \geq 1

hier.

Der kleinste Zähler mit dem größten Nenner gibt den kleinsten Bruch.

Sukomaki aktiv_icon

02:31 Uhr, 08.11.2022

Ahja, dann ist das klar.

Bleibt nur noch der Schritt

\forall n > S : n^{\frac{1}{n}} < 1 + c

übrig zum Verständnis.

Es ist ja

n > 1 + \frac{2}{c^{2}}

, aber wie komme ich auf

1 + c

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:36 Uhr, 08.11.2022

Das eines der Resultate
meines ersten Beitrags zu

b)

Sukomaki aktiv_icon

02:45 Uhr, 08.11.2022

Sorry, ist schon spät. Natürlich hast Du das in Deinem ersten Beitrag geschrieben. Wahrscheinlich ist mir dieser Schritt entfallen, weil er unter b) stand (genau genommen stand da nicht "b)", aber Du weisst was ich meine) und nicht zu a).

Das war doch das mit dem binomischen Satz.

So viele Formeln kann ich mir nur schwer merken. Da geht mir manchmal der Überblick flöten.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

02:50 Uhr, 08.11.2022

Ja, nach den Strapazen braucht das Hirn Ruhe.
Ist wie Body-Building...

Sukomaki aktiv_icon

03:03 Uhr, 08.11.2022

Ich bin dann offline.

Bis später.

Sukomaki aktiv_icon

10:52 Uhr, 09.11.2022

Danke für die Hilfe.

Eure Beweise sind jetzt soweit klar.

1562809

1562631

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?