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n-te Wurzel von k ist natürlich (Satz)

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

NFFN1 aktiv_icon

14:26 Uhr, 15.09.2020

Guten Tag,

es gilt folgenden Satz zu beweisen:

Sei

n > 2, k \in N

und

k^{1 / n} \in Q

.Dann ist

k^{1 / n} \in N

.

Ich hab gedacht k in Primfaktoren zu zerlegen, dann hätte man:

k^{1 / n} = p_{1}^{1 / n} \cdot \cdot \cdot p_{r}^{1 / n}

Aber weiter weiss ich auch nicht.

MfG,
Noah

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

14:30 Uhr, 15.09.2020

Primfaktoren sind die richtige Idee, aber das muss etwas anders gemacht werden.
Wenn

k^{1 / n}

rational ist, gibt's ganze und teilerfremde

m, l

, so dass

k^{1 / n} = m / l

, woraus

k l^{n} = m^{n}

folgt. Und hier kann man die Primfaktorzerlegung nutzen.

NFFN1 aktiv_icon

14:45 Uhr, 15.09.2020

Ist das Ziel nicht zu zeigen, dass es eine natürliche Zahl x gibt, sodass

x^{n} = k

?

Heisst das denn, dass ich m und l in Primfaktoren zerlegen soll, damit ich mit k weiterrechnen kann? Oder wie würde man da weitermachen? Bin gerade etwas verwirrt.

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 15.09.2020

Wenn

l = p_{1}^{r_{1}} . . . p_{t}^{r_{t}}

m = q_{1}^{s_{1}} . . . q_{v}^{s_{v}}

k = a_{1}^{w_{1}} . . . a_{z}^{w_{z}}

die Primfaktorzerlegungen sind, dann gilt

a_{1}^{w_{1}} . . . a_{z}^{w_{z}} p_{1}^{n r_{1}} . . . p_{t}^{n r_{t}} = q_{1}^{n s_{1}} . . . q_{v}^{n s_{v}}

.
Da

l

und

m

teilerfremd sind, ist kein

p_{i}

gleich einem

q_{j}

. Wegen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung muss

r_{1} = . . . = r_{t} = 0

gelten, denn rechts haben wir keine

p_{i}

's. Damit ist

l = 1

und

k = m^{n}

NFFN1 aktiv_icon

15:17 Uhr, 15.09.2020

Okay danke, habs verstanden.

Ich versuche dann nach dem gleichen Prinzip die zweite Teilaufgabe zu lösen:

Für paarweise verschiedene

p 1, . . ., p n \in P

und n ≥ 2 gilt

(p 1 \cdot \cdot \cdot p n)^{1 / n} \notin Q

.

Angenommen

(p 1 \cdot \cdot \cdot p n)^{1 / n}

wäre in Q, dann gäbe es natürliche m und l sodass

m^{n} = (p 1 \cdot \cdot \cdot p n) l^{n}

.
Nach dem gleichen Argument wie in der letzten Aufgabe ist

l^{n} = 1

und man erhält

m^{n} = (p 1 \cdot \cdot \cdot p n)

Aber dann hat man einen Widerspruch wieder wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Also ist

(p 1 \cdot \cdot \cdot p n)^{1 / n}

nicht rational.

Ist das richtig argumentiert?

HAL9000

15:55 Uhr, 15.09.2020

Ein Nachtrag zur Originalaufgabe:

Man muss nicht immer mit diesen monströsen kompletten Primfaktorzerlegungen hantieren - es geht auch einfach so: Gemäß Voraussetzung gibt es teilerfremde ganze Zahlen

p, q

mit

k^{1 / n} = \frac{p}{q}

(d.h., man betrachtet nur "vollständig gekürzte" Ergebnisbrüche).

In der

n

-ten Potenz folgt daraus

k = \frac{p^{n}}{q^{n}}

und weiter dann

k \cdot q^{n} = p^{n} . (*)

Angenommen, es gilt

q > 1

. Betrachten wir nun irgendeinen Primfaktor

r

von

q

, dann muss gemäß (*) auch

p^{n}

durch

r

teilbar sein, mithin auch

p

- der gemeinsame Teiler

r > 1

ist nun ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von

p, q

ermanus aktiv_icon

16:33 Uhr, 15.09.2020

Hallo,
hier für "höhere Semester":
Nach dem Lemma von Gauss hat das Polynom

X^{n} - k

genau dann eine
rationale Nullstelle, wenn es eine ganzzahlige Nullstelle hat.
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

17:02 Uhr, 15.09.2020

Hallo miteinander,

jetzt schreib ich doch noch meinen Senf dazu...

ermanus schrieb:
> Lemma von Gauss

Darauf habe ich gewartet, seit ich die Aufgabe gelesen habe. :-)
Es wurde schon geantwortet, da nahm ich an, das seist vermutlich du.

HAL9000 schrieb:
> mithin

Und darin steckt aus meiner Sicht die ganze Arbeit in dieser Aussage. So viel Arbeit, dass ich den Weg über die (Eindeutigkeit der) Primfaktorzerlegung bevorzuge, wenn ich in der Schule mit der Irrationalität von Wurzeln zu tun habe.

Allgemein: Die zweite Aufgabe deutet für mich auch (von der Systematik) auf die Verwendung der PFZ hin.

Mfg Michael

HAL9000

12:54 Uhr, 16.09.2020

> Und darin steckt aus meiner Sicht die ganze Arbeit in dieser Aussage. So viel Arbeit, dass ich den Weg über die (Eindeutigkeit der) Primfaktorzerlegung bevorzuge, wenn ich in der Schule mit der Irrationalität von Wurzeln zu tun habe.

Sehe ich anders: Für meine Argumentation benötigt man lediglich das Lemma von Euklid, d.h., dass für Primzahlen

r

die Aussage

r ∣ a b \Rightarrow (r ∣ a \lor r ∣ b)

gilt. Dieses Lemma ist elementarer als der Eindeutigkeitssatz der Primfaktorzerlegung, und wird auch beim Beweis dieses Eindeutigkeitssatzes angewandt - zumindest in der mir bekannten Beweisvariante. ;-)

michaL aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.09.2020

Hallo,

danke für die Anregung.
Kannst du mir noch einen Link zu einem Beweis schicken?
Ich habe (nach extrem kurzer Suche) einen direkten gefunden, der das Lemma von Bezout nutzt (Ausschlusskriterium in der Schule). Ein indirekter zielt darauf ab, einen Widerspruch zu Minimalitätseigenschaften zu finden. Den finde ich ganz hübsch, aber letztlich für Schüler nicht gut zugänglich.

Insofern habe ich ein ernstes Interesse, einen schönen verständlichen Beweis dafür zu finden.

Mfg Michael

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