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n-te Wurzel von k ist natürlich (Satz)

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

 
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NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

14:26 Uhr, 15.09.2020

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Guten Tag,

es gilt folgenden Satz zu beweisen:

Sei n>2,kN und k1/nQ.Dann ist k1/nN.

Ich hab gedacht k in Primfaktoren zu zerlegen, dann hätte man:
k1/n=p11/npr1/n Aber weiter weiss ich auch nicht.


MfG,
Noah
Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
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DrBoogie

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14:30 Uhr, 15.09.2020

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Primfaktoren sind die richtige Idee, aber das muss etwas anders gemacht werden.
Wenn k1/n rational ist, gibt's ganze und teilerfremde m,l, so dass k1/n=m/l, woraus kln=mn folgt. Und hier kann man die Primfaktorzerlegung nutzen.
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

14:45 Uhr, 15.09.2020

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Ist das Ziel nicht zu zeigen, dass es eine natürliche Zahl x gibt, sodass xn=k?

Heisst das denn, dass ich m und l in Primfaktoren zerlegen soll, damit ich mit k weiterrechnen kann? Oder wie würde man da weitermachen? Bin gerade etwas verwirrt.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:51 Uhr, 15.09.2020

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Wenn l=p1r1...ptrt, m=q1s1...qvsv, k=a1w1...azwz die Primfaktorzerlegungen sind, dann gilt a1w1...azwzp1nr1...ptnrt=q1ns1...qvnsv.
Da l und m teilerfremd sind, ist kein pi gleich einem qj. Wegen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung muss r1=...=rt=0 gelten, denn rechts haben wir keine pi's. Damit ist l=1 und k=mn.
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

15:17 Uhr, 15.09.2020

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Okay danke, habs verstanden.

Ich versuche dann nach dem gleichen Prinzip die zweite Teilaufgabe zu lösen:

Für paarweise verschiedene p1,...,pnP und n ≥ 2 gilt
(p1···pn)1/nQ.


Angenommen (p1···pn)1/n wäre in Q, dann gäbe es natürliche m und l sodass mn=(p1···pn)ln.
Nach dem gleichen Argument wie in der letzten Aufgabe ist ln=1 und man erhält mn=(p1···pn) Aber dann hat man einen Widerspruch wieder wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung. Also ist (p1···pn)1/n nicht rational.

Ist das richtig argumentiert?
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

15:55 Uhr, 15.09.2020

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Ein Nachtrag zur Originalaufgabe:

Man muss nicht immer mit diesen monströsen kompletten Primfaktorzerlegungen hantieren - es geht auch einfach so: Gemäß Voraussetzung gibt es teilerfremde ganze Zahlen p,q mit k1/n=pq (d.h., man betrachtet nur "vollständig gekürzte" Ergebnisbrüche).

In der n-ten Potenz folgt daraus k=pnqn und weiter dann kqn=pn.(*)

Angenommen, es gilt q>1. Betrachten wir nun irgendeinen Primfaktor r von q, dann muss gemäß (*) auch pn durch r teilbar sein, mithin auch p - der gemeinsame Teiler r>1 ist nun ein Widerspruch zur Teilerfremdheit von p,q.

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:33 Uhr, 15.09.2020

Antworten
Hallo,
hier für "höhere Semester":
Nach dem Lemma von Gauss hat das Polynom Xn-k genau dann eine
rationale Nullstelle, wenn es eine ganzzahlige Nullstelle hat.
Gruß ermanus
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

17:02 Uhr, 15.09.2020

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Hallo miteinander,

jetzt schreib ich doch noch meinen Senf dazu...

ermanus schrieb:
> Lemma von Gauss

Darauf habe ich gewartet, seit ich die Aufgabe gelesen habe. :-)
Es wurde schon geantwortet, da nahm ich an, das seist vermutlich du.

HAL9000 schrieb:
> mithin

Und darin steckt aus meiner Sicht die ganze Arbeit in dieser Aussage. So viel Arbeit, dass ich den Weg über die (Eindeutigkeit der) Primfaktorzerlegung bevorzuge, wenn ich in der Schule mit der Irrationalität von Wurzeln zu tun habe.

Allgemein: Die zweite Aufgabe deutet für mich auch (von der Systematik) auf die Verwendung der PFZ hin.

Mfg Michael
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

12:54 Uhr, 16.09.2020

Antworten
> Und darin steckt aus meiner Sicht die ganze Arbeit in dieser Aussage. So viel Arbeit, dass ich den Weg über die (Eindeutigkeit der) Primfaktorzerlegung bevorzuge, wenn ich in der Schule mit der Irrationalität von Wurzeln zu tun habe.

Sehe ich anders: Für meine Argumentation benötigt man lediglich das Lemma von Euklid, d.h., dass für Primzahlen r die Aussage

rab(rarb)

gilt. Dieses Lemma ist elementarer als der Eindeutigkeitssatz der Primfaktorzerlegung, und wird auch beim Beweis dieses Eindeutigkeitssatzes angewandt - zumindest in der mir bekannten Beweisvariante. ;-)

Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.09.2020

Antworten
Hallo,

danke für die Anregung.
Kannst du mir noch einen Link zu einem Beweis schicken?
Ich habe (nach extrem kurzer Suche) einen direkten gefunden, der das Lemma von Bezout nutzt (Ausschlusskriterium in der Schule). Ein indirekter zielt darauf ab, einen Widerspruch zu Minimalitätseigenschaften zu finden. Den finde ich ganz hübsch, aber letztlich für Schüler nicht gut zugänglich.

Insofern habe ich ein ernstes Interesse, einen schönen verständlichen Beweis dafür zu finden.

Mfg Michael
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