Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » n-te Wurzeln einer komplexen Zahl berechnen

n-te Wurzeln einer komplexen Zahl berechnen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Komplexe Zahlen, Wurzel

Klaus-Baerbel aktiv_icon

12:14 Uhr, 15.02.2010

Hallo,

Ich habe bei der folgenden Aufgabe ein Problem.
Aufgabenstellung lautet wie folgt: Berechnen Sie die vierten Wurzeln von

- 1

ℂ

.

Kann mir hier jemand freundlicherweise mal eine allgemeine Formel an die Hand geben?
Soweit ich weiss muss ich für

k = 1,2,3, . ., n - 1

einsetzen und das in folgende Gleichung (?):

\sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{ψ}{n} + \frac{2 k \cdot π}{n}}

.

Dabei ist

ψ

halt der Winkel in Bogenmaß und immer

n = 4

weil ich die vierten Wurzeln suche? Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

12:56 Uhr, 15.02.2010

Hallo
Um im Zahlenbereich der Komplexen Zahlen Wurzeln zu ziehen, empfiehlt sich stets die Euler-Darstellung der Zahlen, also:

z = R \cdot

exp(phi*i)

Die Zahl

- 1

kann dabei dargestellt werden als:

- 1 = 1 \cdot

exp(1*pi

\cdot i)

- 1 = 1 \cdot

exp(3*pi

\cdot i)

- 1 = 1 \cdot

exp(5*pi

\cdot i)

- 1 = 1 \cdot

exp(7*pi

\cdot i)

Wollen wir nun die 4. Wurzel ziehen, dann gilt doch
(-1)hoch(1/4)

= [1 \cdot

exp(1*pi

\cdot i)]

hoch(1/4)

= [1

]

hoch(1/4)

\cdot

[exp(1*pi

\cdot i)]

hoch(1/4)

= 1 \cdot

exp(1/4*pi

\cdot i)

Die anderen Lösungen heissen entsprechend:
(-1)hoch(1/4)

= 1 \cdot

exp(3/4*pi

\cdot i)

(-1)hoch(1/4)

= 1 \cdot

exp(5/4*pi

\cdot i)

(-1)hoch(1/4)

= 1 \cdot

exp(7/4*pi

\cdot i)

Du siehst, es lassen sich vier Lösungen formulieren.

Edddi aktiv_icon

12:59 Uhr, 15.02.2010

...die Zahlen-Dupel der komplexen n-ten Einheitswurzeln liegen auf den Eckpunkten eines dem komplexen Einheitskreises einbeschriebenen n-Ecks.

Dabei liegt für die n-ten Einheitswurzeln von 1 ein Eckpunkt auf 1 der reellen Zahlenachse.

[

EDIT]
Für

- 1

ist das gilt es ähnlich, nur dass das n-Eck gedreht werden muss um den Winkel

\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot π}{n} = \frac{π}{n}

Für dein Beispiel ergäbe sich ein Quadrat (um 45°

= \frac{π}{4}

gedreht)

Damit haben wir für

\sqrt[4]{- 1}

folgende Lösungen:

es gilt:

z = r \cdot e^{i \cdot ψ} = r \cdot cos (ψ) + i \cdot r \cdot sin (ψ)

wegen

r = 1

gilt:

z^{n} = {(e^{i \cdot ψ})}^{n} = e^{n \cdot i \cdot ψ}

bei der 4. Wurzel ist

n = \frac{1}{4}

und

ψ = (2 \cdot π) \cdot n

Lösung:

z_{k} = e^{i \cdot (k \cdot ψ + π \cdot n)} = e^{i \cdot (2 \cdot k \cdot π \cdot n + π \cdot n)} = e^{i \cdot π \cdot n \cdot (2 \cdot k + 1)}

wegen der Drehung

dies ergibt dann die vier Hauptlösungen.

z_{0} = e^{i \cdot π \cdot \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot 0 + 1)} = e^{i \cdot \frac{1}{4} \cdot π}

z_{1} = e^{i \cdot π \cdot \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot 1 + 1)} = e^{i \cdot \frac{3}{4} \cdot π}

z_{2} = e^{i \cdot π \cdot \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot 2 + 1)} = e^{i \cdot \frac{5}{4} \cdot π}

z_{3} = e^{i \cdot π \cdot \frac{1}{4} \cdot (2 \cdot 2 + 1)} = e^{i \cdot \frac{7}{4} \cdot π}

als Hauptlösungen.

..natürlich gibt's davor und danach noch unendlich viele Lösungen...

;-)

Klaus-Baerbel aktiv_icon

13:30 Uhr, 15.02.2010

Danke schonmal für die Antworten.

Wie kommt der Prof denn auf die Lösungen

w 1 = \sqrt[4]{\sqrt{2}} \cdot e^{3 \frac{π}{16} i}

w 2 = \sqrt[8]{2} \cdot e^{\frac{3 π}{16} i} \cdot e^{\frac{π}{2} i}

...usw ?

Edddi aktiv_icon

07:30 Uhr, 16.02.2010

w_{1} = \sqrt[4]{\sqrt{2}} \cdot e^{3 \cdot \frac{π}{16} \cdot i}

w_{1}^{4} = {(\sqrt[4]{\sqrt{2}})}^{4} \cdot e^{4} \cdot (3 \cdot \frac{π}{16} \cdot i)

w_{1}^{4} = \sqrt{2} \cdot e^{3 \cdot \frac{π}{4} \cdot i} \neq - 1

????????????????

Klaus-Baerbel aktiv_icon

10:41 Uhr, 16.02.2010

Gut, also den Beitrag verstehe ich grad nicht. Aber solange ihr das vorher sowieso richtig gemacht habt kann ich das in der Klausur ja auch so machen ;-). Wenn noch jemand was zu der Lsg. des Profs sagen will dann darf er das sehr gerne tun.

arrow30

13:28 Uhr, 16.02.2010

hi,
du hast hier höchstwahrscheinlich die musterlösung einer anderen Aufgabe . denn mit

z = - 1

ist

| z | = r = 1

und nie

\sqrt{2}

723847

723278

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?